Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular a integral usando o método de substituição. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da técnica de substituição, que é usada para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, olhe bem para a integral . A presença de
e juntos sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a expressão. A ideia aqui é identificar uma parte da integral que, ao ser substituída por uma nova variável, torne a integral mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos escolher como nossa substituição. Isso porque a derivada de é
, que já aparece no numerador da nossa integral. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos e
na integral original. Assim, temos:
Isso simplifica bastante a integral!
Passo 5
A nova integral é
. Ainda parece um pouco complicada, então vamos fazer uma nova substituição para facilitar ainda mais. Vamos definir
, porque a presença do
no denominador sugere que essa substituição pode ajudar.
Passo 6
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, podemos substituir
e
na nossa integral.
Passo 7
Substituindo na integral, temos:
Isso ficou muito mais simples!
Passo 8
A integral
é uma integral básica que resolve para o logaritmo natural de
mais a constante de integração
:
Passo 9
Agora, voltamos às variáveis originais substituindo
e :
Resposta
A integral é igual a .
Exercícios relacionados
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo: