Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
integral cos xsen x ln (sen x) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente tem aqui. O exercício pede para calcular a integral usando o método de substituição. Isso faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente da técnica de substituição, que é usada para simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver. Vamos ver como aplicar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, olhe bem para a integral . A presença de e juntos sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a expressão. A ideia aqui é identificar uma parte da integral que, ao ser substituída por uma nova variável, torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher como nossa substituição. Isso porque a derivada de é dudx = cos x Rightarrow du = cos x , dx , que já aparece no numerador da nossa integral. Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e integral cos xsen x ln (sen x) , dx = integral 1u ln u , du na integral original. Assim, temos:
Isso simplifica bastante a integral!

Passo 5

A nova integral é . Ainda parece um pouco complicada, então vamos fazer uma nova substituição para facilitar ainda mais. Vamos definir , porque a presença do no denominador sugere que essa substituição pode ajudar.

Passo 6

Calculamos a derivada de dvdu = 1u Rightarrow dv = 1u , du em relação a :
Agora, podemos substituir e na nossa integral.

Passo 7

Substituindo na integral, temos:
integral 1u ln u , du = integral 1v , dv
Isso ficou muito mais simples!

Passo 8

A integral integral 1v , dv = ln |v| + C é uma integral básica que resolve para o logaritmo natural de mais a constante de integração :

Passo 9

Agora, voltamos às variáveis originais substituindo ln |v| + C = ln |ln u| + C = ln (ln (sen x)) + C e :

Resposta

A integral é igual a .

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