Calcule as integrais abaixo integral e^theta sen theta d theta

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

A integração por partes se baseia na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = costheta dtheta e v = integral e^theta dtheta = e^theta :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 5

Agora, temos uma nova integral para resolver: . Vamos aplicar novamente a integração por partes. Desta vez, escolhemos e .

Passo 6

Calculando du = -sentheta dtheta e v = integral e^theta dtheta = e^theta :

Passo 7

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:

Passo 8

Voltando à nossa primeira equação:

Passo 9

Vamos reorganizar os termos para isolar a integral que queremos encontrar:

Passo 10

Por fim, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar a integral:

Resposta

A integral de em relação a integral e^theta sentheta dtheta = e^theta (sentheta - costheta)2 + C é:

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