Calcule as integrais abaixo integral0^1raiz2 2 x sen^-1(x^2) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função vão ser e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que a integral resultante seja mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos atribuir:
Agora, precisamos calcular u = arcsen(x^2) e dv = 2x , dx e .

Passo 4

Calculando du = ddx[arcsen(x^2)] , dx = 2xraiz1 - x^4 , dx :
Sabemos que a derivada de é v = integral dv = integral 2x , dx = x^2 multiplicada pela derivada de .
Então,
Calculando :

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores:

Passo 6

Simplificando a segunda integral:
integral x^2 cdot 2xraiz1 - x^4 , dx = 2 integral x^3raiz1 - x^4 , dx
Fazendo a substituição , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:
2 integral x^3raiz1 - x^4 , dx = 2 cdot 14 integral 1raiz1 - t , dt = 12 integral 1raiz1 - t , dt
A integral de integral 1raiz1 - t , dt = 2 raiz1 - t (ignorando a constante de integração) é 12 cdot 2 raiz1 - t = raiz1 - t = raiz1 - x^4 , mas simplificaremos diretamente:
çã
Portanto,

Passo 8

Voltando à expressão original:
Agora, aplicamos os limites de integração de integral 2x arcsen(x^2) , dx = x^2 arcsen(x^2) - raiz1 - x^4 + C a [ x^2 arcsen(x^2) - raiz1 - x^4 ]0^1raiz2 :

Passo 9

Calculando para ( (1raiz2)^2 arcsen((1raiz2)^2) - raiz1 - (1raiz2)^4 ) :
Simplificando:
Para 12 arcsen(12) - raiz1 - 14 = 12 cdot pi6 - raiz34 = pi12 - raiz32 :

Passo 10

Subtraindo os valores:
( pi12 - raiz32 ) - (-1) = pi12 - raiz32 + 1

Resposta

O valor da integral é .

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