Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e entender bem a função
, que é a função arco-secante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Aqui, vamos escolher:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Calculando
:
Integrando
:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando a integral restante:
Passo 5
Vamos resolver agora a integral
. Para isso, fazemos uma substituição simples:
Deixe
. Então,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Agora, precisamos calcular essa expressão nos limites de integração
e
.
Passo 7
Primeiro, calculamos para
:
Sabemos que
(porque
) e
.
Substituindo:
Passo 8
Agora, calculamos para
:
Calculando
. Sabemos que
, então
.
Também,
.
Substituindo:
Passo 9
Agora, subtraímos os valores encontrados nos limites:
Simplificando:
Vamos simplificar ainda mais os termos com
:
Então, temos:
Resposta
A integral definida é igual a
.
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definida como segue
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é crescente ?
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(iv) , o eixo
o eixo
e a reta
(iv)
Calcule as integrais abaixo
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