Calcule as integrais abaixo integral2raiz3^2 t sec ^-1 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica e entender bem a função , que é a função arco-secante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes que vamos usar na integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, vamos escolher:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 3

Calculando du = 1t raizt^2 - 1 , dt :
Sabemos que a derivada de v = integral t , dt = t^22 em relação a é:
Calculando :
Integrando :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral sec^-1(t) cdot t , dt = uv - integral v , du
Substituindo = t^22 cdot sec^-1(t) - integral t^22 cdot 1t raizt^2 - 1 , dt , = t^22 cdot sec^-1(t) - 12 integral traizt^2 - 1 , dt e :
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Vamos resolver agora a integral integral traizw cdot dw2t = 12 integral w^-1/2 , dw . Para isso, fazemos uma substituição simples:
Deixe = 12 cdot 2w^1/2 + C = raizw + C = raizt^2 - 1 + C . Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral sec^-1(t) cdot t , dt = t^22 cdot sec^-1(t) - 12 raizt^2 - 1 + C
Agora, precisamos calcular essa expressão nos limites de integração e .

Passo 7

Primeiro, calculamos para 2^22 cdot pi3 - 12 raiz3 = 2 cdot pi3 - raiz32 = 2pi3 - raiz32 :
Sabemos que (porque ) e .
Substituindo:

Passo 8

Agora, calculamos para (2raiz3)^22 cdot pi6 - 12 cdot 1raiz3 = 432 cdot pi6 - 12raiz3 = 23 cdot pi6 - 12raiz3 = pi9 - 12raiz3 :
Calculando . Sabemos que , então .
Também, .
Substituindo:

Passo 9

Agora, subtraímos os valores encontrados nos limites:
( 2pi3 - raiz32 ) - ( pi9 - 12raiz3 ) = 2pi3 - pi9 - raiz32 + 12raiz3
Simplificando:
6pi - pi9 - raiz32 + 12raiz3 = 5pi9 - raiz32 + 12raiz3
Vamos simplificar ainda mais os termos com - raiz32 + 12raiz3 = -32raiz3 + 12raiz3 = -22raiz3 = -1raiz3 :
5pi9 - 1raiz3
Então, temos:

Resposta

A integral definida é igual a .

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