Calcule as integrais abaixo.
(a) integral0^pi / 2 cos ^5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada redução de potência e utilizar algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cos^5 x = cos^4 x cdot cos x pode ser decomposto para facilitar a integração. Como a potência de cosseno é ímpar (5 é ímpar), podemos separar um fator de e reescrever os outros quatro como . Então:

Passo 3

Agora, para lidar com cos^2 x = 1 + cos 2x2 , vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona cos^4 x = (1 + cos 2x2)^2 com :
Então, pode ser escrito como :

Passo 4

Vamos expandir cos^4 x = (1 + cos 2x)^24 = 1 + 2cos 2x + cos^2 2x4 :
cos^2 2x = 1 + cos 4x2
Agora, temos cos^4 x = 1 + 2cos 2x + 1 + cos 4x24 = 3 + 4cos 2x + cos 4x8 , que também podemos transformar usando a mesma identidade:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, voltamos à nossa integral original:
integral0^pi / 2 cos^5 x , dx = integral0^pi / 2 cos^4 x cdot cos x , dx = integral0^pi / 2 3 + 4cos 2x + cos 4x8 cdot cos x , dx
Mas para simplificar, usamos a separação anterior e aplicamos substituição:
Vamos usar a substituição integral0^1 (1 - u^2)^2 , du , então . Quando , ; quando , .
Nossa integral fica:

Passo 6

Agora, vamos expandir (1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 :
integral0^1 (1 - 2u^2 + u^4) , du = integral0^1 1 , du - 2integral0^1 u^2 , du + integral0^1 u^4 , du
Então, a integral se torna:

Passo 7

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:

Passo 8

Substituindo esses resultados de volta na expressão:
1 - 2 cdot 13 + 15 = 1 - 23 + 15
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
1515 - 1015 + 315 = 15 - 10 + 315 = 815

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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