Calcule as integrais abaixo.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais de funções trigonométricas com potências ímpares. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada redução de potência e utilizar algumas identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
pode ser decomposto para facilitar a integração. Como a potência de cosseno é ímpar (5 é ímpar), podemos separar um fator de
e reescrever os outros quatro como
. Então:
Passo 3
Agora, para lidar com
, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona
com
:
Então,
pode ser escrito como
:
Passo 4
Vamos expandir
:
Agora, temos
, que também podemos transformar usando a mesma identidade:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa integral original:
Mas para simplificar, usamos a separação anterior e aplicamos substituição:
Vamos usar a substituição
, então
. Quando
,
; quando
,
.
Nossa integral fica:
Passo 6
Agora, vamos expandir
:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente:
Passo 8
Substituindo esses resultados de volta na expressão:
Para somar esses termos, vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é
.