Considere as afirmações abaixo com relação a função
e assinale a alternativa correta.
A imagem da função
é o intervalo
.
A imagem da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função matemática que depende de duas variáveis,
e
. A função é definida por:
O que a gente precisa descobrir é qual é o conjunto de valores que essa função pode assumir, ou seja, a imagem da função. A afirmação que estamos analisando diz que a imagem da função
é o intervalo
. Vamos ver se isso tá certo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de uma função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis resultados que a função pode dar quando a gente coloca todos os valores possíveis nas variáveis
e
. No nosso caso, queremos saber para quais números reais
pode resultar.
Passo 3
Olha só, como a função envolve uma raiz quadrada, o que está dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero. Então, temos:
Isso significa que:
Então, os valores de
e
têm que satisfazer essa condição para que
exista no conjunto dos números reais.
Passo 4
Agora, vamos pensar nos valores que
pode assumir. O menor valor ocorre quando a expressão dentro da raiz é a menor possível, e o maior valor ocorre quando a expressão dentro da raiz é a maior possível.
O máximo dentro da raiz acontece quando
é mínimo. O menor valor de
é 0, quando
e
. Então:
Passo 5
O mínimo dentro da raiz acontece quando
é máximo, que é 9. Então:
Passo 6
Portanto, os possíveis valores de
vão de 0 até 3. Isso quer dizer que a imagem da função
é o intervalo
, e não
como a afirmação sugere.
Resposta
A afirmação está incorreta, pois a imagem da função
é o intervalo
.