Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso é ótimo porque na nossa integral original temos um , que podemos substituir por .

Passo 3

Com a substituição, nossa integral fica assim:
Agora, a integral está em termos de , e a expressão é uma forma padrão que conhecemos.

Passo 4

Sabemos que a integral de é:
No nosso caso, , então aplicando essa fórmula temos:

Passo 5

Agora precisamos retornar às variáveis originais e avaliar a integral definida de 1 a (já que quando , e quando , ):

Passo 6

Substituindo os limites de integração:
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:

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Calcule as seguintes integrais usando frações parciais: