Calcule as integrais abaixo:
integral0^1 e^t raiz9-e^2 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Aqui estamos lidando com cálculo de integrais, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Para resolver isso, vamos precisar entender como fazer uma troca de variável que facilite a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso é ótimo porque na nossa integral original temos um , que podemos substituir por .

Passo 3

Com a substituição, nossa integral fica assim:
integral raiz9 - v^2 , dv
Agora, a integral está em termos de , e a expressão é uma forma padrão que conhecemos.

Passo 4

Sabemos que a integral de x2 raiza^2 - x^2 + a^22 arcsin(xa) + C é:
integral raiz9 - v^2 , dv = v2 raiz9 - v^2 + 92 arcsin(v3) + C
No nosso caso, , então aplicando essa fórmula temos:

Passo 5

Agora precisamos retornar às variáveis originais e avaliar a integral definida de 1 a [ v2 raiz9 - v^2 + 92 arcsin(v3) ]1^e (já que quando , e quando , ):

Passo 6

Substituindo os limites de integração:
( e2 raiz9 - e^2 + 92 arcsin(e3) ) - ( 12 raiz9 - 1 + 92 arcsin(13) )
Simplificando os termos:
( e2 raiz9 - e^2 + 92 arcsin(e3) ) - ( raiz82 + 92 arcsin(13) )

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
e2 raiz9 - e^2 + 92 arcsin(e3) - raiz82 - 92 arcsin(13)

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