Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
integral3^4 7 x+3(x-2)^2 d x

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos calcular a integral definida usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de integrais no cálculo, especificamente usando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, observamos o numerador e o denominador da fração. O denominador é , que é um fator linear repetido. O numerador é , que é uma expressão de grau 1.

Passo 3

Vamos expressar a fração como a soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear repetido, escrevemos:
7x + 3(x - 2)^2 = Ax - 2 + B(x - 2)^2
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 7x + 3 = A(x - 2) + B para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de 7(2) + 3 = A(2 - 2) + B 14 + 3 = 0 + B B = 17 e 7(3) + 3 = A(3 - 2) + 17 21 + 3 = A(1) + 17 24 = A + 17 A = 7 . Podemos fazer isso escolhendo valores convenientes para .
Primeiro, escolhemos para simplificar a equação:
Para encontrar , podemos escolher outro valor para , por exemplo, :

Passo 6

Substituímos os valores encontrados de 7x + 3(x - 2)^2 = 7x - 2 + 17(x - 2)^2 e na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral3^4 ( 7x - 2 + 17(x - 2)^2 ) dx = 7 integral3^4 1x - 2 , dx + 17 integral3^4 1(x - 2)^2 , dx

Passo 8

Calculando as integrais:
integral 1x - 2 , dx = ln|x - 2| + C
integral 1(x - 2)^2 , dx = -1x - 2 + C

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
7 [ ln|x - 2| ]3^4 + 17 [ -1x - 2 ]3^4
Calculando cada parte:
7 ( ln(4 - 2) - ln(3 - 2) ) + 17 ( -14 - 2 + 13 - 2 )
Simplificando:
7 (ln 2 - ln 1) + 17 ( -12 + 1 ) 7 (ln 2 - 0) + 17 ( 12 ) 7 ln 2 + 172

Resposta

O valor da integral é .

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