Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
Passo 1
Vamos resumir o exercício: precisamos calcular a integral definida
usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de integrais no cálculo, especificamente usando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples.
Passo 2
Primeiro, observamos o numerador e o denominador da fração. O denominador é
, que é um fator linear repetido. O numerador é
, que é uma expressão de grau 1.
Passo 3
Vamos expressar a fração como a soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear repetido, escrevemos:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de
e
. Podemos fazer isso escolhendo valores convenientes para
.
Primeiro, escolhemos
para simplificar a equação:
Para encontrar
, podemos escolher outro valor para
, por exemplo,
:
Passo 6
Substituímos os valores encontrados de
e
na expressão das frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Passo 8
Calculando as integrais:
Passo 9
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral é
.
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