Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:

Passo 1

Vamos resumir o exercício: precisamos calcular a integral definida usando frações parciais. Isso faz parte do estudo de integrais no cálculo, especificamente usando a técnica de frações parciais para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar decompor a fração em partes mais simples.

Passo 2

Primeiro, observamos o numerador e o denominador da fração. O denominador é , que é um fator linear repetido. O numerador é , que é uma expressão de grau 1.

Passo 3

Vamos expressar a fração como a soma de frações parciais. Como o denominador tem um fator linear repetido, escrevemos:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de e . Podemos fazer isso escolhendo valores convenientes para .
Primeiro, escolhemos para simplificar a equação:
Para encontrar , podemos escolher outro valor para , por exemplo, :

Passo 6

Substituímos os valores encontrados de e na expressão das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 8

Calculando as integrais:

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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