Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada e entender um pouco sobre integrais racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para isso, vamos fazer uma divisão polinomial ou separar o polinômio de uma forma que facilite a integração.

Passo 3

Vamos notar que . Podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Isso ainda não facilita muito, então vamos tentar uma substituição.

Passo 4

Vamos usar a substituição . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Além disso, precisamos expressar em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Agora, expandimos :
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:

Passo 8

Substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Calculando a diferença:

Passo 10

Multiplicando pelo fator :

Resposta

A integral vale .

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