Calcule as integrais abaixo:
integral0^1 x^32 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de . Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada e entender um pouco sobre integrais racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para isso, vamos fazer uma divisão polinomial ou separar o polinômio de uma forma que facilite a integração.

Passo 3

Vamos notar que x^32x + 1 = x^2 cdot x2x + 1 . Podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Isso ainda não facilita muito, então vamos tentar uma substituição.

Passo 4

Vamos usar a substituição u = 2x + 1 Rightarrow x = u - 12 . Assim, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Além disso, precisamos expressar em termos de :

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral0^1 x^32x + 1 , dx = integralu=1^u=3 ( u - 12 )^3u cdot du2
Simplificando os termos:
= 116 integral1^3 (u - 1)^3u , du

Passo 6

Agora, expandimos (u - 1)^3 = u^3 - 3u^2 + 3u - 1 :
116 integral1^3 u^3 - 3u^2 + 3u - 1u , du = 116 integral1^3 ( u^2 - 3u + 3 - 1u ) , du
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
116 [ u^33 - 3u^22 + 3u - ln|u| ]1^3

Passo 8

Substituímos os limites de integração:
Para 3^33 - 3 cdot 3^22 + 3 cdot 3 - ln 3 = 9 - 272 + 9 - ln 3 = 18 - 272 - ln 3 = 92 - ln 3 :
1^33 - 3 cdot 1^22 + 3 cdot 1 - ln 1 = 13 - 32 + 3 - 0 = 13 - 32 + 3 = 13 + 32
Para :

Passo 9

Calculando a diferença:
( 92 - ln 3 ) - ( 13 + 32 ) = 92 - 32 - 13 - ln 3 = 3 - 13 - ln 3 = 83 - ln 3

Passo 10

Multiplicando pelo fator 116 ( 83 - ln 3 ) = 848 - ln 316 = 16 - ln 316 :

Resposta

A integral vale .

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