Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida de
. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente sobre técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada e entender um pouco sobre integrais racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para isso, vamos fazer uma divisão polinomial ou separar o polinômio de uma forma que facilite a integração.
Passo 3
Vamos notar que
. Podemos reescrever a fração da seguinte maneira:
Isso ainda não facilita muito, então vamos tentar uma substituição.
Passo 4
Vamos usar a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
é
, ou seja,
.
Além disso, precisamos expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, expandimos
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Calculando a diferença:
Passo 10
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
A integral vale
.
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