Calcule as integrais abaixo.
(k) integral0^pi / 8(2 x-sen(2 x) sen(4 x)) d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como integrar funções polinomiais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de integração, como a separação de termos e identidades trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar separando a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral0^pi / 8 (2x - sin(2x)sin(4x)) dx = integral0^pi / 8 2x , dx - integral0^pi / 8 sin(2x)sin(4x) , dx

Passo 3

Primeira parte: integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2
Sabemos que a integral de [ x^2 ]0^pi/8 = (pi8)^2 - 0 = pi^264 é , então a integral de será:
Aplicando os limites de a :

Passo 4

Segunda parte: sin A sin B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)]
Para integrar o produto de senos, usamos a identidade trigonométrica:
sin(2x)sin(4x) = 12 [cos(2x - 4x) - cos(2x + 4x)] = 12 [cos(-2x) - cos(6x)]
Aplicando sin(2x)sin(4x) = 12 [cos(2x) - cos(6x)] e 12 integral0^pi/8 [cos(2x) - cos(6x)] dx = 12 ( integral0^pi/8 cos(2x) dx - integral0^pi/8 cos(6x) dx ) :
Como , temos:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar integral cos(kx) dx = sin(kx)k e integral cos(2x) dx = sin(2x)2 e integral cos(6x) dx = sin(6x)6 :
[ sin(2x)2 ]0^pi/8 = sin(pi4)2 = raiz222 = raiz24
Portanto:
[ sin(6x)6 ]0^pi/8 = sin(3pi4)6 = raiz226 = raiz212
Aplicando os limites:
12 ( raiz24 - raiz212 ) = 12 cdot 2raiz212 = raiz212
Substituindo na integral:

Resposta

A integral vale .

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