Calcule as integrais abaixo.
(k)
.
(k)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Temos que calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especialmente sobre como integrar funções polinomiais e trigonométricas. Vamos precisar usar técnicas de integração, como a separação de termos e identidades trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar separando a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 3
Primeira parte:
Sabemos que a integral de
é
, então a integral de
será:
Aplicando os limites de
a
:
Passo 4
Segunda parte:
Para integrar o produto de senos, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando
e
:
Como
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar
e
:
Portanto:
Aplicando os limites:
Substituindo na integral:
Resposta
A integral vale
.