Calcule as integrais abaixo.
(m) .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos que calcular a integral definida de no intervalo de até . Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é bem útil quando temos produtos de funções trigonométricas com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão , percebemos que se definirmos , a derivada de vai casar com o que já está na integral. Assim, nossa substituição vai facilitar muito o cálculo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Note que ajustamos os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,

Passo 5

Agora, vamos integrar :

Passo 6

Substituímos os limites na antiderivada que encontramos:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
i)
Calcule as integrais abaixo.
(k) .
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
j)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
m)