Calcule as integrais abaixo.
(m) integral-pi / 4^0 cos ^3(2 x) sen(2 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o enunciado pede. Temos que calcular a integral definida de cos^3(2x) cdot sin(2x) no intervalo de x = -pi4 até x = 0. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é bem útil quando temos produtos de funções trigonométricas com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão cos^3(2x) cdot sin(2x), percebemos que se definirmos u = cos(2x), a derivada de u vai casar com o sin(2x) que já está na integral. Assim, nossa substituição vai facilitar muito o cálculo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
u = cos(2x) du = -2sin(2x)dx
Isso significa que:
sin(2x)dx = -du2

Passo 4

Substituímos u e du na integral original:
integral-pi/4^0 cos^3(2x) cdot sin(2x) dx = integralu(-pi/4)^u(0) u^3 cdot (-du2) = -12 integral0^1 u^3 du
Note que ajustamos os limites de integração:
  • Quando x = -pi4, u = cos(-pi2) = 0
  • Quando x = 0, u = cos(0) = 1

Passo 5

Agora, vamos integrar u^3:
-12 integral0^1 u^3 du = -12 [ u^44 ]0^1

Passo 6

Substituímos os limites na antiderivada que encontramos:
-12 ( 1^44 - 0^44 ) = -12 ( 14 - 0 ) = -18

Resposta

O valor da integral é -dfrac18.

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