Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais da função
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e usar as regras de derivação, como a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Lembre-se que
. Então, nossa função fica:
Passo 3
Agora, para encontrar as derivadas parciais, vamos derivar
em relação a
e depois em relação a
, tratando a outra variável como constante em cada caso.
Passo 4
Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Explicando: usamos a regra da cadeia para derivar o logaritmo e depois a regra da derivação de uma fração.
Passo 5
Simplificando a expressão acima:
Primeiro, simplificamos o numerador da fração interna:
Então, temos:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Novamente, aplicamos a regra da cadeia e as regras de derivação de funções fracionárias.
Passo 7
Simplificando a expressão acima:
Primeiro, simplificamos o numerador da fração interna:
Então, temos:
Simplificando mais:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo.
(e) .
(e)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f)
f)
Calcule as integrais abaixo.
(k) .
(k)
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
i)
i)