Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos encontrar as derivadas parciais da função . Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções logarítmicas e usar as regras de derivação, como a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Lembre-se que . Então, nossa função fica:

Passo 3

Agora, para encontrar as derivadas parciais, vamos derivar em relação a e depois em relação a , tratando a outra variável como constante em cada caso.

Passo 4

Vamos começar encontrando a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Explicando: usamos a regra da cadeia para derivar o logaritmo e depois a regra da derivação de uma fração.

Passo 5

Simplificando a expressão acima:
Primeiro, simplificamos o numerador da fração interna:
Então, temos:
Simplificando mais:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Novamente, aplicamos a regra da cadeia e as regras de derivação de funções fracionárias.

Passo 7

Simplificando a expressão acima:
Primeiro, simplificamos o numerador da fração interna:
Então, temos:
Simplificando mais:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Calcule as integrais abaixo.
(e) .
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
f)
Calcule as integrais abaixo.
(k) .
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
i)