Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a e a . Para isso, vamos precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
A função é o produto de duas funções: e . Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então, vamos calcular e :
  1. Derivada de em relação a :
    Podemos reescrever como . Aplicando a regra da cadeia:
  2. Derivada de em relação a :
    Sabemos que .
Agora, aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar em comum:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Aqui, apenas depende de , já que não tem . Então, a derivada parcial será apenas:
Vamos calcular :
  1. Derivada de em relação a :
    Reescrevendo como e aplicando a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
j)
Calcule as integrais abaixo.
(m) .
Calcule as integrais abaixo.
(l) .
Calcule as integrais abaixo.
(s) .