Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
m)
m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é a função
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais dessa função em relação a
e a
. Para isso, vamos precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar o produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Então, vamos calcular
e
:
-
Derivada de
em relação a : Podemos reescrevercomo . Aplicando a regra da cadeia: -
Derivada de
em relação a : Sabemos que.
Agora, aplicando a regra do produto:
Podemos fatorar
em comum:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Aqui, apenas
depende de
, já que
não tem
. Então, a derivada parcial será apenas:
Vamos calcular
:
-
Derivada de
em relação a : Reescrevendocomo e aplicando a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais das seguintes funções:
j)
j)
Calcule as integrais abaixo.
(m) .
(m)
Calcule as integrais abaixo.
(l) .
(l)
Calcule as integrais abaixo.
(s) .
(s)