Calcule as integrais definidas abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
usando a Regra de Substituição. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e integrais que envolvem divisão por
. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que
está na expressão, então vamos deixar
. Isso vai ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Com
, precisamos encontrar o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que
. Agora, podemos reescrever a integral em termos de
.
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando
,
. Quando
,
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
. A integral de
em relação a
é:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante
.
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral definida
é igual a
.