Calcule as integrais definidas abaixo usando a Regra de Substituição, quando necessário.
integral1^c ln (t)t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida usando a Regra de Substituição. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e integrais que envolvem divisão por . Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Observamos que está na expressão, então vamos deixar . Isso vai ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Com du = 1t dt , precisamos encontrar o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a , temos:
Isso significa que . Agora, podemos reescrever a integral em termos de .

Passo 4

Substituindo integral1^c ln(t)t , dt = integralu(1)^u(c) u , du e integral0^ln(c) u , du na integral original, ficamos com:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando , . Quando , . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u , du = u^22 + C . A integral de em relação a é:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos da constante .

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[ u^22 ]0^ln(c) = (ln(c))^22 - (0)^22 = (ln(c))^22

Resposta

A integral definida é igual a .

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