Calcule as integrais abaixo usando uma substituição trigonométrica adequada.
integral x+1raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral:
integral x+1raizx^2-1, dx
Vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica útil para integrais envolvendo expressões quadráticas sob uma raiz. Para isso, precisamos identificar uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observe que temos raizx^2 - 1. Isso se parece com a identidade trigonométrica sec^2theta - 1 = tan^2theta. Então, podemos fazer a substituição:
x = sectheta
Assim, dx = sectheta tantheta, dtheta.

Passo 3

Vamos agora substituir x e dx na integral original:
integral sectheta + 1raizsec^2theta - 1 cdot sectheta tantheta, dtheta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
raizsec^2theta - 1 = raiztan^2theta = tantheta
Então, a integral fica:
integral sectheta + 1tantheta cdot sectheta tantheta, dtheta

Passo 4

Agora, cancelamos tantheta no numerador e denominador:
integral (sectheta + 1) cdot sectheta, dtheta = integral (sec^2theta + sectheta), dtheta

Passo 5

Separando a integral:
integral sec^2theta, dtheta + integral sectheta, dtheta
Sabemos que:
integral sec^2theta, dtheta = tantheta + C
integral sectheta, dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C
Então, a integral fica:
tantheta + ln|sectheta + tantheta| + C

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original x. Sabemos que x = sectheta, então:
tantheta = raizx^2 - 1
sectheta + tantheta = x + raizx^2 - 1
Substituindo de volta:
raizx^2 - 1 + ln|x + raizx^2 - 1| + C

Resposta

A integral é igual a:
raizx^2-1 + ln|x + raizx^2-1| + C

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