Calcule a integral
integral e^3 theta sen 3 theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente precisa calcular . Isso está dentro do estudo do Cálculo, mais especificamente de integrais que envolvem funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica que a gente usa quando a integral é o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar u = e^3 theta e dv = sen 3 theta , dtheta e .

Passo 4

Diferenciando du = ddtheta e^3 theta , dtheta = 3 e^3 theta , dtheta :
v = integral sen 3 theta , dtheta = -13 cos 3 theta
E integrando para achar :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral e^3 theta sen 3 theta , dtheta = u , v - integral v , du

Passo 6

Simplificando a expressão:
= -13 e^3 theta cos 3 theta + integral e^3 theta cos 3 theta , dtheta
Agora, temos uma nova integral que também precisa ser resolvida.

Passo 7

Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa nova integral. Escolhemos:
u = e^3 theta e dv = cos 3 theta , dtheta
Calculando du = 3 e^3 theta , dtheta e v = integral cos 3 theta , dtheta = 13 sen 3 theta :

Passo 8

Aplicando a fórmula novamente:
integral e^3 theta cos 3 theta , dtheta = u , v - integral v , du

Passo 9

Agora, voltamos à nossa equação anterior:
Vamos chamar a nossa integral original de integral e^3 theta sen 3 theta , dtheta = -13 e^3 theta cos 3 theta + ( 13 e^3 theta sen 3 theta - integral e^3 theta sen 3 theta , dtheta ) :

Passo 10

Agora, isolamos I + I = -13 e^3 theta cos 3 theta + 13 e^3 theta sen 3 theta :
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

A integral é igual a:

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