Determine todos os pontos do gráfico de f(x) = x^3 + 2 x^2 - 3 x - 1 em que a reta tangente a ele seja:
(b) Paralela à reta y - 7x + 1 = 0.

Passo 1

Então, a gente tem que achar todos os pontos do gráfico da função onde a reta tangente é paralela à reta . Isso envolve cálculo (derivadas) e geometria analítica. Vamos precisar calcular a derivada de para encontrar as inclinações das tangentes e comparar com a inclinação da reta dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a inclinação da reta . Para isso, colocamos a equação na forma , onde é a inclinação.
Então, a inclinação da reta é 7.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto do gráfico.
A derivada de é:

Passo 4

Como queremos que a reta tangente seja paralela à reta dada, as inclinações devem ser iguais. Então, vamos igualar a 7:
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de .

Passo 5

Subtraindo 7 de ambos os lados:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Calculando o discriminante:
Então,

Passo 6

Agora, encontramos os valores de correspondentes substituindo os valores de na função :
Para :
E para :

Resposta

Os pontos do gráfico de onde a reta tangente é paralela à reta são:
e

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