Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria, especificamente substituição trigonométrica para facilitar a resolução. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que se encaixe em uma identidade trigonométrica e então aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral. Temos
. Note que
pode ser escrito como
, então a expressão dentro da raiz fica
. Isso se assemelha à forma
, que é perfeita para uma substituição trigonométrica do tipo seno.
Passo 3
Vamos fazer a substituição trigonométrica. Seja
. Então,
e derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Substituindo
na integral, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão, o
no numerador e denominador se cancelam, e
. Assim, a integral fica:
Agora, para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 5
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então
.
Também, usando a identidade de seno duplo:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão integrada:
Passo 8
Agora, para esboçar o triângulo retângulo associado à substituição trigonométrica, considere a relação
. Pense em um triângulo onde o ângulo
tem o cateto oposto de
e a hipotenusa de 1. O cateto adjacente será
. Assim, o triângulo terá:
- Ângulo:
- Cateto oposto:
- Cateto adjacente:
- Hipotenusa: 1
Este triângulo ajuda a visualizar a substituição trigonométrica que utilizamos na resolução da integral.
Resposta
A integral
é igual a: