Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
integral x raiz1-4 x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria, especificamente substituição trigonométrica para facilitar a resolução. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que se encaixe em uma identidade trigonométrica e então aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral. Temos . Note que pode ser escrito como , então a expressão dentro da raiz fica . Isso se assemelha à forma , que é perfeita para uma substituição trigonométrica do tipo seno.

Passo 3

Vamos fazer a substituição trigonométrica. Seja 4x , dx = cos theta , dtheta implies dx = cos theta4x , dtheta . Então, integral x raiz1 - sin^2 theta cdot cos theta4x , dtheta e derivando ambos os lados em relação a , temos:
Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão, o 14 integral cos^2 theta , dtheta no numerador e denominador se cancelam, e cos^2 theta = 1 + cos 2theta2 . Assim, a integral fica:
14 integral 1 + cos 2theta2 , dtheta = 18 integral (1 + cos 2theta) , dtheta
Agora, para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 5

Integrando termo a termo:
18 ( integral 1 , dtheta + integral cos 2theta , dtheta ) = 18 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sin 2theta = 2 cdot 2x^2 cdot raiz1 - (2x^2)^2 = 4x^2 raiz1 - 4x^4 . Lembrando que fizemos , então .
Também, usando a identidade de seno duplo:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integrada:
18 ( arcsin(2x^2) + 4x^2 raiz1 - 4x^42 ) + C = 18 arcsin(2x^2) + 14 x^2 raiz1 - 4x^4 + C

Passo 8

Agora, para esboçar o triângulo retângulo associado à substituição trigonométrica, considere a relação . Pense em um triângulo onde o ângulo tem o cateto oposto de e a hipotenusa de 1. O cateto adjacente será . Assim, o triângulo terá:
  • Ângulo:
  • Cateto oposto:
  • Cateto adjacente:
  • Hipotenusa: 1
Este triângulo ajuda a visualizar a substituição trigonométrica que utilizamos na resolução da integral.

Resposta

A integral 18 arcsin(2x^2) + 14 x^2 raiz1 - 4x^4 + C é igual a:

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