Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente na área de integrais que envolvem polinômios. Vamos precisar entender como quebrar a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, nota que o grau do polinômio do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de usar as frações parciais. Então, vamos dividir por :
Aqui, subtraímos de e chega em .

Passo 3

Agora, a integral ficou mais simples:
A primeira parte, , é fácil de integrar. Vamos focar na segunda parte usando frações parciais.

Passo 4

Vamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por , temos:
Agora, escolhemos valores de para resolver e :
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Substituindo e de volta na expressão das frações parciais:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
Integramos cada parte:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo. (Procure no seu livro preferido de cálculo.) Diga por que esse teorema merece esse nome.
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
Calcule as integrais abaixo: