Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral
usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente na área de integrais que envolvem polinômios. Vamos precisar entender como quebrar a fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, nota que o grau do polinômio do numerador (
) é igual ao grau do denominador (
). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de usar as frações parciais. Então, vamos dividir
por
:
Aqui, subtraímos
de
e chega em
.
Passo 3
Agora, a integral ficou mais simples:
A primeira parte,
, é fácil de integrar. Vamos focar na segunda parte usando frações parciais.
Passo 4
Vamos decompor
em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, podemos escrever:
Precisamos encontrar os valores de
e
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Agora, escolhemos valores de
para resolver
e
:
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Substituindo
e
de volta na expressão das frações parciais:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Integramos cada parte:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
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