Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
integral x^2+2x^2-9 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral usando frações parciais. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente na área de integrais que envolvem polinômios. Vamos precisar entender como quebrar a fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, nota que o grau do polinômio do numerador ( x^2 + 2x^2 - 9 = 1 + 11x^2 - 9 ) é igual ao grau do denominador ( ). Quando isso acontece, a gente precisa fazer uma divisão polinomial antes de usar as frações parciais. Então, vamos dividir por :
Aqui, subtraímos de e chega em .

Passo 3

Agora, a integral ficou mais simples:
integral x^2 + 2x^2 - 9 , dx = integral 1 , dx + integral 11x^2 - 9 , dx
A primeira parte, , é fácil de integrar. Vamos focar na segunda parte usando frações parciais.

Passo 4

Vamos decompor x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador:
11(x - 3)(x + 3) = Ax - 3 + Bx + 3
Então, podemos escrever:
Precisamos encontrar os valores de e .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 11 = A(x + 3) + B(x - 3) , temos:
11 = A(6) Rightarrow A = 116
Agora, escolhemos valores de 11 = B(-6) Rightarrow B = -116 para resolver e :
  • Se :
  • Se :

Passo 6

Substituindo 11x^2 - 9 = 116(x - 3) - 116(x + 3) e de volta na expressão das frações parciais:
Agora, podemos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Voltando à nossa integral original:
integral x^2 + 2x^2 - 9 , dx = integral 1 , dx + 116 integral 1x - 3 , dx - 116 integral 1x + 3 , dx
Integramos cada parte:

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
x + 116 ln|x - 3| - 116 ln|x + 3| + C
Onde é a constante de integração.

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