Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão é sobre cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 5

Agora, vamos resolver para e . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Primeiro, substituímos :

Passo 6

Em seguida, substituímos :

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a fração parcial:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 9

A integral de é . Aplicando isso:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Enuncie o Teorema Fundamental do Cálculo. (Procure no seu livro preferido de cálculo.) Diga por que esse teorema merece esse nome.
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.