Calcule as seguintes integrais usando frações parciais:
integral 1x^2-16 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1x^2-16 , dx. Essa questão é sobre cálculo de integrais usando frações parciais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 16. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser escrita como (x - 4)(x + 4). Então, temos:
1x^2 - 16 = 1(x - 4)(x + 4)

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Isso significa que queremos encontrar constantes A e B tais que:
1(x - 4)(x + 4) = Ax - 4 + Bx + 4

Passo 4

Para encontrar A e B, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (x - 4)(x + 4):
1 = A(x + 4) + B(x - 4)

Passo 5

Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de x que simplifiquem a equação. Primeiro, substituímos x = 4:
1 = A(4 + 4) + B(4 - 4) 1 = 8A A = 18

Passo 6

Em seguida, substituímos x = -4:
1 = A(-4 + 4) + B(-4 - 4) 1 = -8B B = -18

Passo 7

Agora que temos A e B, podemos escrever a fração parcial:
1x^2 - 16 = 18x - 4 + -18x + 4 = 18(x - 4) - 18(x + 4)

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 18(x - 4) , dx - integral 18(x + 4) , dx

Passo 9

A integral de 1x - a é ln|x - a| + C. Aplicando isso:
18 ln|x - 4| - 18 ln|x + 4| + C

Resposta

A integral é igual a 18 ln|x - 4| - 18 ln|x + 4| + C, onde C é a constante de integração.

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