Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos: integral-pi2^pi cos ^3(theta) sen^2(theta) d theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão cos^3(theta) sin^2(theta) = cos^2(theta) cdot cos(theta) sin^2(theta) . Perceba que podemos reescrever como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, lembrando que cos^3(theta) sin^2(theta) = (1 - sin^2(theta)) cdot cos(theta) sin^2(theta) (uma identidade trigonométrica básica), podemos substituir:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
(1 - sin^2(theta)) cdot cos(theta) sin^2(theta) = cos(theta) sin^2(theta) - cos(theta) sin^4(theta)
Isso pode parecer mais complicado, então vamos optar por uma substituição para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos usar a substituição dudtheta = cos(theta) Rightarrow du = cos(theta) dtheta . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral:
integral-pi2^pi cos^3(theta) sin^2(theta) dtheta = integralu(-pi2)^u(pi) cos^2(theta) cdot u^2 du
Sabemos que integral (1 - u^2) u^2 du . Então:

Passo 7

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
integral (u^2 - u^4) du

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral u^2 du - integral u^4 du = u^33 - u^55 + C

Passo 9

Agora, vamos voltar à variável original sin^3(theta)3 - sin^5(theta)5 + C :

Passo 10

Por fim, aplicamos os limites de integração de [ sin^3(theta)3 - sin^5(theta)5 ]-pi2^pi a sin(pi) = 0 Rightarrow 0 - 0 = 0 :
sin(-pi2) = -1 Rightarrow (-1)^33 - (-1)^55 = -13 - -15 = -13 + 15 = -215
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

A integral avaliada é .

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