Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão
. Perceba que podemos reescrever
como
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, lembrando que
(uma identidade trigonométrica básica), podemos substituir:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Isso pode parecer mais complicado, então vamos optar por uma substituição para facilitar a integração.
Passo 5
Vamos usar a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo na integral:
Sabemos que
. Então:
Passo 7
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Passo 9
Agora, vamos voltar à variável original
:
Passo 10
Por fim, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral avaliada é
.
Exercícios relacionados
Obtenha o limite.
;
Obtenha o limite.
.
(d)