Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . Perceba que podemos reescrever como . Assim, temos:

Passo 3

Agora, lembrando que (uma identidade trigonométrica básica), podemos substituir:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão multiplicando os termos:
Isso pode parecer mais complicado, então vamos optar por uma substituição para facilitar a integração.

Passo 5

Vamos usar a substituição . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo na integral:
Sabemos que . Então:

Passo 7

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 8

Integrando termo a termo:

Passo 9

Agora, vamos voltar à variável original :

Passo 10

Por fim, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Resposta

A integral avaliada é .

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Obtenha o limite. ;
Obtenha o limite. .
(d)