Obtenha o limite. lim x 4 3 x^2-8 x-162 x^2-9 x+4;

Passo 1

Vamos resolver o limite . Para isso, vamos usar conceitos de limites e manipulação de funções racionais, como fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, tentamos substituir 3(4)^2 - 8(4) - 162(4)^2 - 9(4) + 4 = 3 cdot 16 - 32 - 162 cdot 16 - 36 + 4 = 48 - 32 - 1632 - 36 + 4 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtivemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador: 3x^2 - 12x + 4x - 16 = 3x(x - 4) + 4(x - 4) = (3x + 4)(x - 4)
Procuramos dois números que multiplicados dão 2x^2 - 8x - x + 4 = 2x(x - 4) - 1(x - 4) = (2x - 1)(x - 4) e que somados dão . Esses números são e .
Denominador:
Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na função original:
(3x + 4)(x - 4)(2x - 1)(x - 4)
Podemos cancelar o termo comum 3x + 42x - 1 :

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora substituímos 3(4) + 42(4) - 1 = 12 + 48 - 1 = 167 :

Resposta

O limite é .

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