Obtenha o limite. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte limite para resolver: . Esse exercício é da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular limites que inicialmente dão uma indeterminação do tipo e aprender a simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de por diretamente na expressão para ver o que acontece:
A gente pegou uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, a gente vai fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Vamos começar pelo numerador :
Agora, vamos fatorar o denominador :

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Agora, podemos cancelar o fator comum no numerador e no denominador:
Essa simplificação é válida para todos os valores de diferentes de .

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite substituindo por :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Construir o esboço gráfico das funções: .
Demonstre as seguintes igualdades trigonométricas: .
Obtenha o limite. ;
Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos: .