Obtenha o limite. lim x 1 x^2+x-2x^2-3 x+2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte limite para resolver: lim x 1 x^2+x-2x^2-3 x+2. Esse exercício é da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, a gente vai precisar entender como calcular limites que inicialmente dão uma indeterminação do tipo 00 e aprender a simplificar expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de x por 1 diretamente na expressão para ver o que acontece:
1^2 + 1 - 21^2 - 3 times 1 + 2 = 1 + 1 - 21 - 3 + 2 = 00
A gente pegou uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, a gente vai fatorar tanto o numerador quanto o denominador. Vamos começar pelo numerador x^2 + x - 2:
x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)
Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x + 2:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(x + 2)(x - 1)(x - 1)(x - 2)
Agora, podemos cancelar o fator comum (x - 1) no numerador e no denominador:
x + 2x - 2
Essa simplificação é válida para todos os valores de x diferentes de 1.

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite substituindo x por 1:
lim x 1 x + 2x - 2 = 1 + 21 - 2 = 3-1 = -3

Resposta

O limite é -3.

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