Cálcule as integrais: cap0^-(b) integral0^-3 sin (x) cos ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de sin(x) cos^2(x) no intervalo de 0 a -3. Primeiro, vamos identificar que estamos trabalhando com cálculo de integrais, mais especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, note que a função que queremos integrar é sin(x) cos^2(x). Para facilitar, podemos usar uma substituição. Vamos deixar u = cos(x). Assim, a derivada de u em relação a x é du = -sin(x) dx.

Passo 3

Rearranjando a equação de du, temos -du = sin(x) dx. Isso nos ajuda a substituir partes da integral. Vamos reescrever a integral original usando essa substituição:
integral sin(x) cos^2(x) dx = integral cos^2(x) sin(x) dx = integral u^2 (-du)

Passo 4

Agora, a integral fica:
- integral u^2 du
Integrando u^2 em relação a du, temos:
- ( u^33 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo u = cos(x) de volta na expressão, obtemos:
- cos^3(x)3 + C
Como temos limites de integração de 0 a -3, vamos calcular a integral definida.

Passo 6

Avalie a antiderivada nos limites de 0 a -3:
[ -cos^3(x)3 ]0^-3 = -cos^3(-3)3 - ( -cos^3(0)3 )
Lembrando que cos(-x) = cos(x), então:
= -cos^3(3)3 + cos^3(0)3
E como cos(0) = 1:
= -cos^3(3)3 + 13

Resposta

A integral definida é igual a 13 - cos^3(3)3.

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