Cálcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Primeiro, vamos identificar que estamos trabalhando com cálculo de integrais, mais especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, note que a função que queremos integrar é
. Para facilitar, podemos usar uma substituição. Vamos deixar
. Assim, a derivada de
em relação a
é
.
Passo 3
Rearranjando a equação de
, temos
. Isso nos ajuda a substituir partes da integral. Vamos reescrever a integral original usando essa substituição:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Integrando
em relação a
, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituindo
de volta na expressão, obtemos:
Como temos limites de integração de
a
, vamos calcular a integral definida.
Passo 6
Avalie a antiderivada nos limites de
a
:
Lembrando que
, então:
E como
:
Resposta
A integral definida é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja A o conjunto limitado pelas curvas
e
. Calcule a área e esboce o conjunto
.
Qual é o valor de
que satisfaz
Seja
Determine o dominio da funçâo .
Determine o dominio da funçâo
Determine os limites com
e