Seja A o conjunto limitado pelas curvas e . Calcule a área e esboce o conjunto .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que pede o exercício. A gente tem um conjunto que é limitado por quatro curvas: , , (que é o eixo x) e . Nosso objetivo é calcular a área dessa região e fazer um esboço dela. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, e também entender como encontrar os pontos de interseção das curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram, porque esses pontos vão delimitar a área que queremos calcular. Vamos resolver os pontos de interseção entre cada par de curvas.
Passo 3
Vamos encontrar onde e se encontram. Igualando as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Levantando tudo para um lado da equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Ent��o, os pontos de interseção são:
Passo 4
Agora, vamos verificar onde as outras curvas se intersectam. A curva intercepta o eixo x () quando . A linha vertical corta o eixo x em e a curva em .
Passo 5
Com os pontos de interseção identificados, vemos que a região está limitada entre e . Para calcular a área, precisamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores dentro desses limites.
Passo 6
A função superior é e a inferior é . A área pode ser calculada pela integral:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Aplicando os limites de integração:
Agora, substituímos os limites na expressão:
Passo 9
Calculando cada parte:
Primeiro, para :
Depois, para :
Subtraindo:
(O cálculo completo envolve números irracionais e ficará bem complexo, mas podemos deixar a resposta em termos de expressão.)