Seja A o conjunto limitado pelas curvas x = 1, y = x - 4, y = 0 e y = raiz(x). Calcule a área e esboce o conjunto A.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que pede o exercício. A gente tem um conjunto que é limitado por quatro curvas: , , (que é o eixo x) e . Nosso objetivo é calcular a área dessa região e fazer um esboço dela. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, e também entender como encontrar os pontos de interseção das curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se encontram, porque esses pontos vão delimitar a área que queremos calcular. Vamos resolver os pontos de interseção entre cada par de curvas.

Passo 3

Vamos encontrar onde e se encontram. Igualando as duas expressões:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado esquerdo:
Levantando tudo para um lado da equação:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Ent��o, os pontos de interseção são:

Passo 4

Agora, vamos verificar onde as outras curvas se intersectam. A curva intercepta o eixo x ( ) quando . A linha vertical corta o eixo x em e a curva em .

Passo 5

Com os pontos de interseção identificados, vemos que a região está limitada entre e . Para calcular a área, precisamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores dentro desses limites.

Passo 6

A função superior é e a inferior é . A área pode ser calculada pela integral:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
Agora, substituímos os limites na expressão:

Passo 9

Calculando cada parte:
Primeiro, para :
Depois, para :
Subtraindo:
(O cálculo completo envolve números irracionais e ficará bem complexo, mas podemos deixar a resposta em termos de expressão.)

Resposta

A área do conjunto é dada por:

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