Qual é o valor de b que satisfaz
integral1^b x cos (x^2-1) d x=12 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o valor de integral1^b x cos (x^2-1) dx = 12 que satisfaz a equação da integral:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integração por substituição. Vamos precisar entender como simplificar a integral para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando uma substituição. Olha só:
Seja dudx = 2x implies du = 2x dx . Então, precisamos calcular a derivada de x dx = du2 em relação a :
Daí, podemos rearranjar para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
integral1^b x cos (x^2-1) dx = integralu(1)^u(b) cos(u) cdot du2
Onde:
  • Quando 12 integral0^b^2-1 cos(u) du ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de integral cos(u) du = sin(u) + C :
12 [sin(u)]0^b^2-1 = 12 [sin(b^2-1) - sin(0)] = 12 sin(b^2-1)
Aplicando os limites de integração:
Porque .

Passo 5

Agora, igualamos a expressão obtida à metade, conforme a equação original:
12 sin(b^2-1) = 12
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
sin(b^2-1) = 1

Passo 6

Queremos encontrar b^2 - 1 = pi2 + 2pi k onde k é um inteiro tal que b^2 - 1 = pi2 implies b^2 = 1 + pi2 . Sabemos que . Então:
é
Para a solução mais próxima e simples, consideramos :

Passo 7

Agora, resolvemos para b = raiz1 + pi2 :
b approx raiz1 + 3,14162 approx raiz1 + 1,5708 approx raiz2,5708 approx 1,603
Calculando o valor numérico:

Resposta

O valor de que satisfaz a equação dada é aproximadamente .

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