Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Devemos calcular a integral definida de no intervalo de a . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especialmente integrais impróprias, já que os limites de integração são infinitos.

Passo 2

Vamos reescrever a função de uma forma que facilite a integração. Sabemos que pode ser escrito como , usando a propriedade das potências com base natural.

Passo 3

Agora, substituímos na integral original:

Passo 4

Vamos analisar a convergência dessa integral. A função pode ser reescrita como , onde . Sabemos que a integral de de a converge apenas quando . Caso contrário, a integral tende ao infinito.

Passo 5

No nosso caso, , que é um número negativo. Portanto, à medida que se aproxima de , tende a zero, mas quando se aproxima de , tende ao infinito.

Passo 6

Como a função tende ao infinito em uma das extremidades do intervalo de integração, a integral não converge para um valor finito.

Resposta

A integral é divergente, ou seja, não possui um valor finito.

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Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
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