Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral-infty^infty x cos x-sen xx^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral definida de uma função que envolve cosseno e seno, especificamente:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e derivadas de funções trigonométricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função que estamos integrando é:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, observe que a segunda parte da integral, , parece complicada, mas vamos notar algo interessante: a derivada da função em relação a sen xx^2.
Vamos calcular essa derivada:
E olha só! Isso é exatamente a nossa função dentro da integral. Ou seja,

Passo 4

Com essa observação, podemos reescrever a integral original usando a derivada que encontramos:
A integral da derivada de uma função em um intervalo é simplesmente a diferença dos valores dessa função nos limites do intervalo. Ou seja,
integral-infty^infty ddx ( sen xx ) , dx

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Como oscila entre -1 e 1, e está sendo dividida por [ sen xx ]-infty^infty = limx to infty sen xx - limx to -infty sen xx que vai para mais ou menos infinito, ambos os limites tendem a zero:

Resposta

Portanto, a integral vale:
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