Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral definida de uma função que envolve cosseno e seno, especificamente:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre integrais impróprias e derivadas de funções trigonométricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A função que estamos integrando é:
Podemos separar essa fração em duas partes:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, observe que a segunda parte da integral, , parece complicada, mas vamos notar algo interessante: a derivada da função em relação a
.
Vamos calcular essa derivada:
E olha só! Isso é exatamente a nossa função dentro da integral. Ou seja,
Passo 4
Com essa observação, podemos reescrever a integral original usando a derivada que encontramos:
A integral da derivada de uma função em um intervalo é simplesmente a diferença dos valores dessa função nos limites do intervalo. Ou seja,
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Como oscila entre -1 e 1, e está sendo dividida por
que vai para mais ou menos infinito, ambos os limites tendem a zero:
Resposta
Portanto, a integral vale: