Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
integral1^infty raiz1+raizxraizx d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que analisar a integral definida de até da função em relação a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Vamos simplificar a função dentro da integral para facilitar a análise. A função é raiz1+raizxraizx = raiz1 + x^1/2x^1/2 . Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando raiz1 + x^1/2 approx raizx^1/2 = x^1/4 tende ao infinito. À medida que x^1/4x^1/2 = x^-1/4 cresce, o termo se torna muito maior que , então podemos aproximar:
Portanto, a função se aproxima de:

Passo 4

Sabemos que, para determinar se a integral converge ou diverge, podemos comparar com uma integral conhecida. Vamos comparar com , onde:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.
No nosso caso, , que é menor que .

Passo 5

Como , concluímos que a integral diverge. Já que nossa função original se comporta de maneira similar a para grandes valores de , a integral original também diverge.

Resposta

Falso. A integral diverge.

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