Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que analisar a integral definida de até da função em relação a . Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre convergência de integrais impróprias.

Passo 2

Vamos simplificar a função dentro da integral para facilitar a análise. A função é . Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando tende ao infinito. À medida que cresce, o termo se torna muito maior que , então podemos aproximar:
Portanto, a função se aproxima de:

Passo 4

Sabemos que, para determinar se a integral converge ou diverge, podemos comparar com uma integral conhecida. Vamos comparar com , onde:
  • Se , a integral converge.
  • Se , a integral diverge.
No nosso caso, , que é menor que .

Passo 5

Como , concluímos que a integral diverge. Já que nossa função original se comporta de maneira similar a para grandes valores de , a integral original também diverge.

Resposta

Falso. A integral diverge.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais.

Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se qualquer que seja .)