Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que analisar a integral definida de
até
da função
em relação a
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Vamos simplificar a função dentro da integral para facilitar a análise. A função é
. Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando
tende ao infinito. À medida que
cresce, o termo
se torna muito maior que
, então podemos aproximar:
Portanto, a função se aproxima de:
Passo 4
Sabemos que, para determinar se a integral converge ou diverge, podemos comparar com uma integral conhecida. Vamos comparar com
, onde:
- Se
, a integral converge. - Se
, a integral diverge.
No nosso caso,
, que é menor que
.
Passo 5
Como
, concluímos que a integral
diverge. Já que nossa função original se comporta de maneira similar a
para grandes valores de
, a integral original também diverge.
Resposta
Falso. A integral diverge.