Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que analisar a integral definida de
até
da função
em relação a
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre convergência de integrais impróprias.
Passo 2
Vamos simplificar a função dentro da integral para facilitar a análise. A função é
. Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando
tende ao infinito. À medida que
cresce, o termo
se torna muito maior que
, então podemos aproximar:
Portanto, a função se aproxima de:
Passo 4
Sabemos que, para determinar se a integral converge ou diverge, podemos comparar com uma integral conhecida. Vamos comparar com
, onde:
- Se
, a integral converge. - Se
, a integral diverge.
No nosso caso,
, que é menor que
.
Passo 5
Como
, concluímos que a integral
diverge. Já que nossa função original se comporta de maneira similar a
para grandes valores de
, a integral original também diverge.
Resposta
Falso. A integral diverge.
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Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais.
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função
é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se
qualquer que seja
.)