Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar: . Sabemos que a integral de em relação a é , onde e são constantes, e é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa função, temos:
Aqui, e , então dividimos por 4.

Passo 4

Como a integral é definida de 0 a 2, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração:

Passo 5

Vamos simplificar os valores dentro dos logaritmos:
Já que o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais, usamos o valor absoluto:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
Utilizando propriedades dos logaritmos, sabemos que , então:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.