Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral0^2 14 x-5 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar: . Sabemos que a integral de em relação a é , onde e são constantes, e é a constante de integração.

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa função, temos:
integral 14x - 5 , dx = 14 ln|4x - 5| + C
Aqui, e , então dividimos por 4.

Passo 4

Como a integral é definida de 0 a 2, vamos calcular o valor da antiderivada nos limites de integração:
14 ln|4x - 5| |0^2 = 14 ln|4(2) - 5| - 14 ln|4(0) - 5|

Passo 5

Vamos simplificar os valores dentro dos logaritmos:
4(2) - 5 = 8 - 5 = 3
4(0) - 5 = 0 - 5 = -5
Já que o logaritmo de um número negativo não está definido nos números reais, usamos o valor absoluto:
ln| -5 | = ln 5

Passo 6

Substituindo de volta na expressão, temos:
14 ln 3 - 14 ln 5 = 14 (ln 3 - ln 5)
Utilizando propriedades dos logaritmos, sabemos que 14 ln(35) , então:

Resposta

A integral é igual a .

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