Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de
até
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica para resolver integrais que são produtos de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos chamar de
e
para aplicar a fórmula da integração por partes. A fórmula é:
No nosso caso, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Para encontrar
, integramos
:
Para integrar , usamos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 4
Aplicando agora a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora integrar
. Novamente, usamos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que encontramos a antiderivada, aplicamos os limites de integração de
até
:
Vamos calcular primeiro em
:
Simplificando o argumento das funções trigonométricas:
Então:
Agora, em
:
Resposta
Somando os valores:
Portanto, o valor da integral é 3.