Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de
até
. A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica para resolver integrais que são produtos de duas funções, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos chamar de
e
para aplicar a fórmula da integração por partes. A fórmula é:
No nosso caso, vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Para encontrar
, integramos
:
Para integrar , usamos uma substituição simples. Seja
, então
ou
. Assim:
Passo 4
Aplicando agora a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora integrar
. Novamente, usamos uma substituição:
Seja
, então
ou
.
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora que encontramos a antiderivada, aplicamos os limites de integração de
até
:
Vamos calcular primeiro em
:
Simplificando o argumento das funções trigonométricas:
Então:
Agora, em
:
Resposta
Somando os valores:
Portanto, o valor da integral é 3.
Exercícios relacionados
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função
é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se
qualquer que seja
.)
Calcule as integrais.
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)