Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
integral1^pi4+1 4 t sen(2 t-2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de no intervalo de até . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente a integração por partes. Vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica para resolver integrais que são produtos de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos chamar de integral u , dv = uv - integral v , du e u = 4t e dv = sen(2t - 2) , dt para aplicar a fórmula da integração por partes. A fórmula é:
No nosso caso, vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 4 , dt e integrar v = integral sen(2t - 2) , dt :
v = integral sen(w) cdot dw2 = -cos(w)2 + C = -cos(2t - 2)2
Para encontrar , integramos :
Para integrar , usamos uma substituição simples. Seja , então ou . Assim:

Passo 4

Aplicando agora a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
integral 4t cdot sen(2t - 2) , dt = u cdot v - integral v , du
Simplificando:
= 4t cdot (-cos(2t - 2)2) - integral (-cos(2t - 2)2) cdot 4 , dt

Passo 5

Vamos agora integrar integral cos(2t - 2) , dt = integral cos(w) cdot dw2 = sen(w)2 + C = sen(2t - 2)2 . Novamente, usamos uma substituição:
Seja -2t cos(2t - 2) + 2 cdot sen(2t - 2)2 = -2t cos(2t - 2) + sen(2t - 2) + C , então ou .
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora que encontramos a antiderivada, aplicamos os limites de integração de [ -2t cos(2t - 2) + sen(2t - 2) ]1^1 + pi4 até -2(1 + pi4) cos(2(1 + pi4) - 2) + sen(2(1 + pi4) - 2) :
Vamos calcular primeiro em 2(1 + pi4) - 2 = 2 + pi2 - 2 = pi2 :
Simplificando o argumento das funções trigonométricas:
-2(1 + pi4) cos(pi2) + sen(pi2) = -2(1 + pi4) cdot 0 + 1 = 1
Então:
Agora, em -2 cdot 1 cdot cos(0) + sen(0) = -2 cdot 1 cdot 1 + 0 = -2 :

Resposta

Somando os valores:
1 - (-2) = 3
Portanto, o valor da integral é 3.

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