Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente analisar a integral
e dizer se ela é verdadeira (ou seja, se ela converge) ou falsa (diverge). Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais impróprias e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Estamos integrando a função
de 1 até o infinito. Como o limite superior é o infinito, isso é uma integral imprópria. Nosso objetivo é descobrir se essa integral tem um valor finito (converge) ou se ela aumenta sem limite (diverge).
Passo 3
Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a nossa função com outra que já sabemos se converge ou diverge. Sabemos que
sempre está entre 0 e 1, ou seja,
. Portanto, podemos afirmar que:
Passo 4
Agora, precisamos examinar a integral de compara�o
. Essa integral é conhecida e converge. De fato:
Passo 5
Como a nossa função
é menor ou igual a
para todo
, e sabemos que a integral de
converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral também converge.
Resposta
Verdadeiro. A integral
converge.