Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente analisar a integral e dizer se ela é verdadeira (ou seja, se ela converge) ou falsa (diverge). Para resolver isso, vamos usar conceitos de integrais impróprias e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. Estamos integrando a função de 1 até o infinito. Como o limite superior é o infinito, isso é uma integral imprópria. Nosso objetivo é descobrir se essa integral tem um valor finito (converge) ou se ela aumenta sem limite (diverge).

Passo 3

Para verificar a convergência, vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste nos permite comparar a nossa função com outra que já sabemos se converge ou diverge. Sabemos que sempre está entre 0 e 1, ou seja, . Portanto, podemos afirmar que:

Passo 4

Agora, precisamos examinar a integral de comparaç��o . Essa integral é conhecida e converge. De fato:

Passo 5

Como a nossa função é menor ou igual a para todo , e sabemos que a integral de converge, pelo Teste da Comparação, a nossa integral também converge.

Resposta

Verdadeiro. A integral converge.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se qualquer que seja .)
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considere a integral definida .
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo , o gráfico de e as retas e ? (Justifique e em seguida calcule a área de ).