Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que é útil quando temos uma função e sua derivada dentro da integral. Precisaremos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Vamos chamar o denominador de . Então:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original:

Passo 5

Precisamos expressar em termos de . Da substituição inicial:

Passo 6

Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos separar a integral:

Passo 8

Substituindo de volta em termos de :

Passo 9

Simplificando a expressão:

Resposta

A integral de em relação a é:

Exercícios relacionados

Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considere a integral definida .
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo , o gráfico de e as retas e ? (Justifique e em seguida calcule a área de ).
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e