Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar o conteúdo de integração por substituição, que é útil quando temos uma função e sua derivada dentro da integral. Precisaremos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Vamos chamar o denominador
de
. Então:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
. Da substituição inicial:
Passo 6
Substituindo
na integral:
Passo 7
Agora, vamos separar a integral:
Passo 8
Substituindo
de volta em termos de
:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta.
Calcule as integrais. (Caso precise, consulte as dicas que estão após as respostas.)
Considere a integral definida
.
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo
, o gráfico de
e as retas
e
? (Justifique e em seguida calcule a área de
).
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e