Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função
é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se
qualquer que seja
.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem que analisar a integral
e dizer se é verdadeira ou falsa, justificando a resposta. O conteúdo da matéria envolve integrais de funções ímpares. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma função ímpar e como suas propriedades afetam a integral em intervalos simétricos.
Passo 2
Primeiro, uma função
é chamada de ímpar se, para todo
no domínio de
, ela satisfaz a condição
. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem. Um exemplo clássico de função ímpar é
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre integrais de funções ímpares em intervalos simétricos, ou seja, de
a
, onde
é um número positivo. A propriedade importante aqui é que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico ao redor da origem é igual a zero:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas do gráfico da função se cancelam.
Passo 4
No caso do nosso exercício, temos uma integral de
a
, que é um intervalo simétrico ao redor da origem. Como
é uma função ímpar e assumindo que a integral converge, podemos aplicar a propriedade mencionada:
Resposta
A afirmação é verdadeira. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico, como
a
, é igual a zero.
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