Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função f é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se f(-x)=f(x) qualquer que seja x in D(f).)
integral-infty^infty f(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem que analisar a integral e dizer se é verdadeira ou falsa, justificando a resposta. O conteúdo da matéria envolve integrais de funções ímpares. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma função ímpar e como suas propriedades afetam a integral em intervalos simétricos.

Passo 2

Primeiro, uma função é chamada de ímpar se, para todo no domínio de , ela satisfaz a condição . Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação à origem. Um exemplo clássico de função ímpar é .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre integrais de funções ímpares em intervalos simétricos, ou seja, de integral-a^a f(x) dx = 0 a , onde é um número positivo. A propriedade importante aqui é que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico ao redor da origem é igual a zero:
Isso acontece porque as áreas positivas e negativas do gráfico da função se cancelam.

Passo 4

No caso do nosso exercício, temos uma integral de integral-infty^infty f(x) dx = 0 a , que é um intervalo simétrico ao redor da origem. Como é uma função ímpar e assumindo que a integral converge, podemos aplicar a propriedade mencionada:

Resposta

A afirmação é verdadeira. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico, como a , é igual a zero.

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