Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
integral-pi / 2^pi / 2 integral0^cos theta integral0^3 r^2 f(r, theta, z) d z r d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos integrar uma função sobre um volume definido por certos limites para , e . Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração e como as coordenadas cilíndricas funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de 0 a .
  • Para cada , varia de 0 a .

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por integral-pi / 2^pi / 2 integral0^cos theta integral0^3 r^2 f(r, theta, z) , dz , r , dr , dtheta . Isso já está refletido na integral que temos:
Aqui, está sendo multiplicado porque, em coordenadas cilíndricas, precisamos levar em conta a “espessura” no sentido radial.

Passo 4

Agora, vamos integrar passo a passo. Vamos começar integrando em relação a integral0^3 r^2 f(r, theta, z) , dz :
Assumindo que seja uma função conhecida, essa integral nos dá uma função de e .

Passo 5

Em seguida, integramos o resultado em relação a integral0^cos theta ( integral0^3 r^2 f(r, theta, z) , dz ) r , dr de 0 a :
Aqui, o fora da integral é parte do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Por último, integramos em relação a integral-pi / 2^pi / 2 ( integral0^cos theta ( integral0^3 r^2 f(r, theta, z) , dz ) r , dr ) dtheta de a :
Essa última integral nos dá o valor total da integral tripla sobre o volume definido.

Resposta

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é calculada passo a passo conforme descrito acima, resultando no valor final após integrar nas variáveis , e dentro dos limites especificados.

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