Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Isso significa que vamos integrar uma função
sobre um volume definido por certos limites para
,
e
. Para resolver isso, precisamos entender os limites de integração e como as coordenadas cilíndricas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
-
varia de a . - Para cada
, varia de 0 a . - Para cada
, varia de 0 a .
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por
. Isso já está refletido na integral que temos:
Aqui,
está sendo multiplicado porque, em coordenadas cilíndricas, precisamos levar em conta a “espessura” no sentido radial.
Passo 4
Agora, vamos integrar passo a passo. Vamos começar integrando em relação a
:
Assumindo que
seja uma função conhecida, essa integral nos dá uma função de
e
.
Passo 5
Em seguida, integramos o resultado em relação a
de 0 a
:
Aqui, o
fora da integral é parte do elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Por último, integramos em relação a
de
a
:
Essa última integral nos dá o valor total da integral tripla sobre o volume definido.
Resposta
A integral tripla em coordenadas cilíndricas é calculada passo a passo conforme descrito acima, resultando no valor final após integrar
nas variáveis
,
e
dentro dos limites especificados.