Resolver por separação de variáveis as equações a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada:
Aqui, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma maneira de resolver equações diferenciais onde conseguimos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Para isso, precisamos reorganizar a equação de modo que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por
:
Simplificando a fração do lado direito:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados por
e por
:
Dessa forma, conseguimos isolar os termos de
no lado esquerdo e os termos de
no lado direito da equação.
Passo 4
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar as funções de
e
:
Passo 6
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Para integrar
, podemos usar a integração por partes, onde:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar o lado direito:
Calculando cada integral:
Portanto:
Passo 8
Igualando as integrais dos dois lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 9
Podemos deixar a solução dessa forma, ou então isolar
, onde
engloba todas as constantes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.