Resolver por separação de variáveis as equações a seguir. e^x y dy/dx = e^(-y) (1 + e^(-2 x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial que foi dada:
Aqui, vamos usar a técnica de separação de variáveis, que é uma maneira de resolver equações diferenciais onde conseguimos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Para isso, precisamos reorganizar a equação de modo que todos os termos com fiquem de um lado e os com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir ambos os lados da equação por :
Simplificando a fração do lado direito:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, multiplicamos ambos os lados por e por :
Dessa forma, conseguimos isolar os termos de no lado esquerdo e os termos de no lado direito da equação.

Passo 4

Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar as funções de e :

Passo 6

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
Para integrar , podemos usar a integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar o lado direito:
Calculando cada integral:
Portanto:

Passo 8

Igualando as integrais dos dois lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 9

Podemos deixar a solução dessa forma, ou então isolar , onde engloba todas as constantes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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