Faça um esboço do gráfico das funções abaixo descrevendo o seu domínio, onde cresce e decresce, onde a concavidade é para baixo e para cima, onde tem máximo e mínimo e, onde estão as assíntotas.
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. Para isso, precisamos descobrir algumas características importantes dela: o domínio, onde ela cresce ou decresce, a concavidade (se é para cima ou para baixo), os pontos de máximo e mínimo, e as assíntotas. Vamos precisar usar noções de álgebra e cálculo, tipo derivadas para analisar o crescimento e a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que fazem a função existir.
Para
, o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
Então, resolvemos:
Domínio:
(todos os números reais, exceto 2)
Passo 3
Agora, vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, usamos a primeira derivada da função.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de
:
Analisando o sinal de
:
O denominador
é sempre positivo, e o numerador é negativo. Então,
é sempre negativo, o que significa que a função está sempre decrescente no seu domínio.
Conclusão:
está decrescendo para todo
em
Passo 4
Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Analisando o sinal de
:
- Se
(ou seja, ), : concavidade para cima - Se
(ou seja, ), : concavidade para baixo
Conclusão:
-
é côncava para cima em -
é côncava para baixo em
Passo 5
Vamos verificar se a função tem pontos de máximo ou mínimo. Para isso, analisamos onde a primeira derivada muda de sinal.
No nosso caso,
é sempre negativa (exceto em
, onde não está definida). Isso significa que não há pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Conclusão: A função
não possui pontos de máximo ou mínimo.
Passo 6
Por último, vamos encontrar as assíntotas da função.
-
Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero.ParaEntão, a assíntota vertical é
. -
Assíntota Horizontal ou Oblíqua: Analisamos o limite de
quando tende ao infinito. O limite é constante, então temos uma assíntota horizontal em.
Conclusão:
- Assíntota vertical:
- Assíntota horizontal:
Resposta
Resumindo as características da função
:
- Domínio: Todos os números reais, exceto
. - Crescimento/Decrescimento: Sempre decrescente em todo o domínio.
- Concavidade:
- Para
:concava para cima - Para
: concava para baixo
- Para
- Máximos/Mínimos: Não possui pontos de máximo ou mínimo.
- Assíntotas:
- Vertical:
- Horizontal:
- Vertical:
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico mostrando a assíntota vertical em
, a assíntota horizontal em
, e a curva sempre decrescendo, mudando a concavidade no ponto
.