Faça um esboço do gráfico das funções abaixo descrevendo o seu domínio, onde cresce e decresce, onde a concavidade é para baixo e para cima, onde tem máximo e mínimo e, onde estão as assíntotas.
g(x) = 2x / (x - 2)

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . Para isso, precisamos descobrir algumas características importantes dela: o domínio, onde ela cresce ou decresce, a concavidade (se é para cima ou para baixo), os pontos de máximo e mínimo, e as assíntotas. Vamos precisar usar noções de álgebra e cálculo, tipo derivadas para analisar o crescimento e a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que fazem a função existir.
Para , o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é definida.
Então, resolvemos:
Domínio: (todos os números reais, exceto 2)

Passo 3

Agora, vamos ver onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, usamos a primeira derivada da função.
Primeiro, encontramos a primeira derivada de :
Analisando o sinal de :
O denominador é sempre positivo, e o numerador é negativo. Então, é sempre negativo, o que significa que a função está sempre decrescente no seu domínio.
Conclusão: está decrescendo para todo em

Passo 4

Agora, vamos analisar a concavidade da função usando a segunda derivada.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Analisando o sinal de :
  • Se (ou seja, ), : concavidade para cima
  • Se (ou seja, ), : concavidade para baixo
Conclusão:
  • é côncava para cima em
  • é côncava para baixo em

Passo 5

Vamos verificar se a função tem pontos de máximo ou mínimo. Para isso, analisamos onde a primeira derivada muda de sinal.
No nosso caso, é sempre negativa (exceto em , onde não está definida). Isso significa que não há pontos onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa.
Conclusão: A função não possui pontos de máximo ou mínimo.

Passo 6

Por último, vamos encontrar as assíntotas da função.
  1. Assíntota Vertical: Ocorre onde o denominador é zero.
    Para
    Então, a assíntota vertical é .
  2. Assíntota Horizontal ou Oblíqua: Analisamos o limite de quando tende ao infinito.
    O limite é constante, então temos uma assíntota horizontal em .
Conclusão:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntota horizontal:

Resposta

Resumindo as características da função :
  • Domínio: Todos os números reais, exceto .
  • Crescimento/Decrescimento: Sempre decrescente em todo o domínio.
  • Concavidade:
    • Para :concava para cima
    • Para : concava para baixo
  • Máximos/Mínimos: Não possui pontos de máximo ou mínimo.
  • Assíntotas:
    • Vertical:
    • Horizontal:
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico mostrando a assíntota vertical em , a assíntota horizontal em , e a curva sempre decrescendo, mudando a concavidade no ponto .

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