Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 integral0^2 cos phi rho^2 sen phi d rho d phi d theta=pi3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Isso significa que estamos trabalhando com integrais múltiplas usando coordenadas que facilitam a resolução de problemas com simetria circular. Para resolver isso, vamos precisar entender as coordenadas cilíndricas ( rho, phi, theta) e como configurar os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável na integral:
  • theta varia de 0 a 2pi, o que cobre toda a volta ao redor do eixo z.
  • phi varia de pi4 a pi2, definindo a faixa de ângulos acima do plano xy.
  • rho varia de 0 a 2cosphi, que nos dá o raio máximo em função do ângulo phi.

Passo 3

A expressão da integral é:
integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 integral0^2 cos phi rho^2 sin phi drho dphi dtheta
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a rho.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^2 cos phi rho^2 drho
A integral de rho^2 em relação a rho é:
rho^33 g|0^2 cos phi = (2 cos phi)^33 - 0 = 8 cos^3 phi3

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral original:
integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 8 cos^3 phi3 sin phi dphi dtheta
Podemos sair com a constante 83:
83 integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 cos^3 phi sin phi dphi dtheta

Passo 6

A próxima integração é em relação a phi. Observamos que a parte cos^3 phi sin phi sugere uma substituição simples. Vamos deixar u = cos phi, então du = -sin phi dphi. Isso simplifica a integral para:
83 integral0^2 pi ( -integralcos(pi/4)^cos(pi/2) u^3 du ) dtheta
Calculando os limites para u:
cos(pi4) = raiz22, cos(pi2) = 0
Portanto:
83 integral0^2 pi ( -integralraiz22^0 u^3 du ) dtheta = 83 integral0^2 pi integral0^raiz22 u^3 du dtheta

Passo 7

Agora, integramos u^3 em relação a u:
integral0^raiz22 u^3 du = u^44 g|0^raiz22 = (raiz22)^44 = (24)^24 = (12)^24 = 144 = 116

Passo 8

Substituindo de volta na integral:
83 integral0^2 pi 116 dtheta = 83 cdot 116 integral0^2 pi dtheta = 848 cdot 2pi = 16 cdot 2pi = pi3

Resposta

O valor da integral é pi3.

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