Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas nos exercícios 1-6.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral tripla em coordenadas cilíndricas. Isso significa que estamos trabalhando com integrais múltiplas usando coordenadas que facilitam a resolução de problemas com simetria circular. Para resolver isso, vamos precisar entender as coordenadas cilíndricas (, , ) e como configurar os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para cada variável na integral:
varia de a , o que cobre toda a volta ao redor do eixo .
varia de a , definindo a faixa de ângulos acima do plano .
varia de a , que nos dá o raio máximo em função do ângulo .
Passo 3
A expressão da integral é:
Vamos resolver essa integral passo a passo, começando pela integração em relação a .
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a :
A integral de em relação a é:
Passo 5
Agora, substituímos esse resultado na integral original:
integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 8 cos^3 phi3 sin phi dphi dtheta
Podemos sair com a constante 83:
83 integral0^2 pi integralpi / 4^pi / 2 cos^3 phi sin phi dphi dtheta
Passo 6
A próxima integração é em relação a phi. Observamos que a parte cos^3 phi sin phi sugere uma substituição simples. Vamos deixar u = cos phi, então du = -sin phi dphi. Isso simplifica a integral para:
83 integral0^2 pi ( -integralcos(pi/4)^cos(pi/2) u^3 du ) dtheta
Calculando os limites para u:
cos(pi4) = raiz22, cos(pi2) = 0
Portanto:
83 integral0^2 pi ( -integralraiz22^0 u^3 du ) dtheta = 83 integral0^2 pi integral0^raiz22 u^3 du dtheta