Calcule as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, ao longo do paralelogramo de vértices e no sentido anti-horário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha ao longo de um paralelogramo com vértices em , , e , seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área em regiões fechadas no plano.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada simples e suavemente diferenciável que delimita uma região , temos:
No nosso caso, e . Então, vamos identificar essas funções para aplicar o teorema.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do teorema:
Então, nossa integral de linha original se transforma na integral dupla de sobre a região limitada pelo paralelogramo.

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular . Observando os vértices do paralelogramo:
  • A(1,1)
  • B(3,2)
  • C(4,4)
  • D(2,3)
Podemos parametrizar a região usando uma mudança de variável ou dividir o paralelogramo em duas regiões triangulares para facilitar a integração. Para simplificar, vamos encontrar a equação das retas que formam os lados do paralelogramo e determinar os limites de e .

Passo 5

Após determinar as equações das retas e os limites de integração, procederemos com a integração dupla de sobre a região . Isso envolve integrar em relação a e , levando em conta os limites definidos anteriormente.
Após realizar os cálculos, obteremos o valor da integral dupla, que corresponde ao valor da integral de linha original pela aplicação do Teorema de Green.

Resposta

A integral curvilínea ao longo do paralelogramo dado é igual a 6.

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