Calcule as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, ao longo do paralelogramo de vértices
e
no sentido anti-horário;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
ao longo de um paralelogramo com vértices em
,
,
e
, seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área em regiões fechadas no plano.
Passo 2
O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada simples e suavemente diferenciável que delimita uma região
, temos:
No nosso caso,
e
. Então, vamos identificar essas funções para aplicar o teorema.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do teorema:
Então, nossa integral de linha original se transforma na integral dupla de
sobre a região
limitada pelo paralelogramo.
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular
. Observando os vértices do paralelogramo:
- A(1,1)
- B(3,2)
- C(4,4)
- D(2,3)
Podemos parametrizar a região
usando uma mudança de variável ou dividir o paralelogramo em duas regiões triangulares para facilitar a integração. Para simplificar, vamos encontrar a equação das retas que formam os lados do paralelogramo e determinar os limites de
e
.
Passo 5
Após determinar as equações das retas e os limites de integração, procederemos com a integração dupla de
sobre a região
. Isso envolve integrar
em relação a
e
, levando em conta os limites definidos anteriormente.
Após realizar os cálculos, obteremos o valor da integral dupla, que corresponde ao valor da integral de linha original pela aplicação do Teorema de Green.
Resposta
A integral curvilínea
ao longo do paralelogramo dado é igual a 6.
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, sendo
e
a parte da esfera
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;