Calcule as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
oint x d x+x y d y, ao longo do paralelogramo de vértices A(1,1), B(3,2), C(4,4) e D(2,3) no sentido anti-horário;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha oint x, dx + x y, dy ao longo de um paralelogramo com vértices em A(1,1), B(3,2), C(4,4) e D(2,3), seguindo o sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área em regiões fechadas no plano.

Passo 2

O Teorema de Green diz que, para uma curva fechada simples e suavemente diferenciável que delimita uma região D, temos:
ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = x e Q = x y. Então, vamos identificar essas funções para aplicar o teorema.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (x y)partial x = y
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
Substituindo na expressão do teorema:
integral duplaD ( y - 0 ) dA = integral duplaD y, dA
Então, nossa integral de linha original se transforma na integral dupla de y sobre a região D limitada pelo paralelogramo.

Passo 4

Agora, precisamos definir os limites de integração para calcular integral duplaD y, dA. Observando os vértices do paralelogramo:
  • A(1,1)
  • B(3,2)
  • C(4,4)
  • D(2,3)
Podemos parametrizar a região D usando uma mudança de variável ou dividir o paralelogramo em duas regiões triangulares para facilitar a integração. Para simplificar, vamos encontrar a equação das retas que formam os lados do paralelogramo e determinar os limites de x e y.

Passo 5

Após determinar as equações das retas e os limites de integração, procederemos com a integração dupla de y sobre a região D. Isso envolve integrar y em relação a x e y, levando em conta os limites definidos anteriormente.
Após realizar os cálculos, obteremos o valor da integral dupla, que corresponde ao valor da integral de linha original pela aplicação do Teorema de Green.

Resposta

A integral curvilínea oint x, dx + x y, dy ao longo do paralelogramo dado é igual a 6.

Exercícios relacionados