Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pela função vetorial
, com
variando de
a
e
de
a
. Nosso objetivo aqui é transformar essa representação paramétrica em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relaciona diretamente
,
e
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como eliminar os parâmetros
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as componentes da função vetorial:
Nosso esquema é eliminar os parâmetros
e
para que tudo fique em termos de
,
e
. Comecemos com
.
Passo 3
Observamos que
. Isso já nos dá uma relação direta entre
e
, mas como queremos eliminar
, isso significa que
é simplesmente uma coordenada independente que varia de
a
. Então, não precisamos nos preocupar muito com
além de saber que
está limitado a esse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos eliminar o parâmetro
. Temos duas equações envolvendo
:
Dividindo cada lado pela respectiva constante:
Agora, sabemos que
. Vamos usar isso para relacionar
e
.
Passo 5
Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Isso nos dá a equação:
Resposta
A equação cartesiana da superfície é
, com
.
Exercícios relacionados
Calcule:
, sendo
e
a parte da esfera
no primeiro octante com a normal apontando para fora;
Calcule as integrais curvilíneas dadas usando o Teorema de Green.
, ao longo do paralelogramo de vértices
e
no sentido anti-horário;
Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
.
Calcule:
, onde
é a superfície exterior do cone
delimitado pelos planos
e