Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pela função vetorial , com variando de a e de a . Nosso objetivo aqui é transformar essa representação paramétrica em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relaciona diretamente , e . Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como eliminar os parâmetros e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as componentes da função vetorial:
Nosso esquema é eliminar os parâmetros e para que tudo fique em termos de , e . Comecemos com .

Passo 3

Observamos que . Isso já nos dá uma relação direta entre e , mas como queremos eliminar , isso significa que é simplesmente uma coordenada independente que varia de a . Então, não precisamos nos preocupar muito com além de saber que está limitado a esse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos eliminar o parâmetro . Temos duas equações envolvendo :
Dividindo cada lado pela respectiva constante:
Agora, sabemos que . Vamos usar isso para relacionar e .

Passo 5

Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Isso nos dá a equação:

Resposta

A equação cartesiana da superfície é , com .

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.
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