Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
r(u, v) = (2 cos(u), 3 sen(u), v), 0 <= u <= pi/2, 0 <= v <= 4;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma superfície definida pela função vetorial , com u variando de 0 a pi / 2 e v de 0 a . Nosso objetivo aqui é transformar essa representação paramétrica em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relaciona diretamente x, y e z. Para isso, vamos precisar usar um pouco de trigonometria e entender como eliminar os parâmetros u e v.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as componentes da função vetorial:
Nosso esquema é eliminar os parâmetros u e v para que tudo fique em termos de x, y e z. Comecemos com z.

Passo 3

Observamos que . Isso já nos dá uma relação direta entre z e v, mas como queremos eliminar v, isso significa que z é simplesmente uma coordenada independente que varia de 0 a . Então, não precisamos nos preocupar muito com v além de saber que z está limitado a esse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos eliminar o parâmetro u. Temos duas equações envolvendo u:
Dividindo cada lado pela respectiva constante:
Agora, sabemos que . Vamos usar isso para relacionar x e y.

Passo 5

Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
Isso nos dá a equação:

Resposta

A equação cartesiana da superfície é , com .

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