Calcule:
integral duplaS F n d S, sendo F=(y,-x, 0) e S a parte da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 no primeiro octante com a normal apontando para fora;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície , onde e é a parte da esfera que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos). A normal está apontando para fora da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície à integral de volume correspondente. Também vamos precisar entender como calcular a divergência do campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial nabla cdot F = partial ypartial x + partial (-x)partial y + partial 0partial z = 0 + 0 + 0 = 0 é dada por:
Para o nosso campo :

Passo 3

Com a divergência , pelo Teorema da Divergência, a integral de superfície é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por . Porém, como a divergência é zero, a integral de superfície também será zero, desde que seja uma superfície fechada.
No nosso caso, é apenas a parte da esfera no primeiro octante, então precisamos considerar também as outras superfícies que fecham esse volume no primeiro octante: os planos , e .

Passo 4

Calculamos a integral de superfície total, que inclui integral duplaS F cdot n , dS + integral duplaplanos F cdot n , dS = 0 e as três faces planas. Como a divergência de integral duplaplano xz F cdot n , dS = integral duplaplano xz x , dS é zero, a integral total será zero:
integral0^a integral0^raiza^2 - x^2 x , dz , dx = integral0^a x cdot raiza^2 - x^2 , dx
Agora, calculamos as integrais sobre as faces planas:
  1. Plano ( ): . Como , o produto escalar .
  2. Plano ( ): . .
  3. Plano ( ): . .
A única contribuição vem do plano :
No primeiro octante, varia de a e também de a . A integral fica:
Fazendo a substituição , a integral resulta em .

Resposta

A integral vale .

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