Calcule:
, sendo
e
a parte da esfera
no primeiro octante com a normal apontando para fora;
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície
, onde
e
é a parte da esfera
que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos). A normal
está apontando para fora da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície à integral de volume correspondente. Também vamos precisar entender como calcular a divergência do campo vetorial
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Para o nosso campo
:
Passo 3
Com a divergência
, pelo Teorema da Divergência, a integral de superfície
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume limitado por
. Porém, como a divergência é zero, a integral de superfície também será zero, desde que
seja uma superfície fechada.
No nosso caso,
é apenas a parte da esfera no primeiro octante, então precisamos considerar também as outras superfícies que fecham esse volume no primeiro octante: os planos
,
e
.
Passo 4
Calculamos a integral de superfície total, que inclui
e as três faces planas. Como a divergência de
é zero, a integral total será zero:
Agora, calculamos as integrais sobre as faces planas:
- Plano
( ): . Como , o produto escalar . - Plano
( ): . . - Plano
( ): . .
A única contribuição vem do plano
:
No primeiro octante,
varia de
a
e
também de
a
. A integral fica:
Fazendo a substituição
, a integral resulta em
.
Resposta
A integral
vale
.
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, ao longo do paralelogramo de vértices
e
no sentido anti-horário;
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Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
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.