Calcule:
, sendo e a parte da esfera no primeiro octante com a normal apontando para fora;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de superfície , onde e é a parte da esfera que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são positivos). A normal está apontando para fora da esfera.
Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona uma integral de superfície à integral de volume correspondente. Também vamos precisar entender como calcular a divergência do campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
Para o nosso campo :

Passo 3

Com a divergência , pelo Teorema da Divergência, a integral de superfície é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por . Porém, como a divergência é zero, a integral de superfície também será zero, desde que seja uma superfície fechada.
No nosso caso, é apenas a parte da esfera no primeiro octante, então precisamos considerar também as outras superfícies que fecham esse volume no primeiro octante: os planos , e .

Passo 4

Calculamos a integral de superfície total, que inclui e as três faces planas. Como a divergência de é zero, a integral total será zero:
Agora, calculamos as integrais sobre as faces planas:
  1. Plano ( ): . Como , o produto escalar .
  2. Plano ( ): . .
  3. Plano ( ): . .
A única contribuição vem do plano :
No primeiro octante, varia de a e também de a . A integral fica:
Fazendo a substituição , a integral resulta em .

Resposta

A integral vale .

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Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
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.