Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
r(u, v) = (u + v, 3 - v, 1 + 4u + 5v)

Passo 1

Vamos dar uma geral na questão: você tem uma superfície definida por uma equação vetorial . O conteúdo aqui envolve parametrização de superfícies e como transformar isso em uma equação cartesiana, que é mais fácil de visualizar no espaço 3D. Para resolver, vamos precisar relacionar as variáveis paramétricas u e v com as coordenadas cartesianas x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que definem cada coordenada:

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis paramétricas. Olhando para a segunda equação, podemos resolver para v em função de y:

Passo 4

Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar u em termos de x e y:

Passo 5

Com u e v expressos em termos de x e y, vamos substituir esses valores na terceira equação para encontrar z em função de x e y:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão para chegar na equação cartesiana:

Resposta

A equação cartesiana da superfície é .

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