Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y : f(x, y)=sen(x^2 y+y^2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular as derivadas parciais de em relação a e . Isso vai envolver conhecimentos de derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, especialmente trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de u = x^2 y + y^2 x em relação a , ou seja, .
A função é uma função composta: a função seno de outra função, que vamos chamar de . Então, temos:
Para usar a regra da cadeia, precisamos derivar o seno de em relação a , multiplicando pela derivada de em relação a .

Passo 3

Calculando a derivada de ddu sin(u) = cos(u) em relação a partial upartial x = partialpartial x (x^2 y + y^2 x) :
partial upartial x = 2x y + y^2
Agora, derivamos em relação a :
Como é tratado como constante quando derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial fpartial x = ddu sin(u) cdot partial upartial x = cos(u) cdot (2x y + y^2) :
partial fpartial x = cos(x^2 y + y^2 x) cdot (2x y + y^2)
Substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de u = x^2 y + y^2 x em relação a ddu sin(u) = cos(u) , ou seja, partial upartial y = partialpartial y (x^2 y + y^2 x) .
Novamente, usamos a regra da cadeia. Temos:
partial upartial y = x^2 + 2y x
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Tratando como constante:

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia para partial fpartial y = ddu sin(u) cdot partial upartial y = cos(u) cdot (x^2 + 2x y) :
partial fpartial y = cos(x^2 y + y^2 x) cdot (x^2 + 2x y)
Substituindo de volta na expressão:

Resposta

As derivadas parciais de partial fpartial x = cos(x^2 y + y^2 x) cdot (2x y + y^2) são:
partial fpartial y = cos(x^2 y + y^2 x) cdot (x^2 + 2x y)
e

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