Para as funções dadas a seguir, calcule as derivadas parciais
e
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem que calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Isso vai envolver conhecimentos de derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos precisar entender como derivar funções compostas, especialmente trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função
é uma função composta: a função seno de outra função, que vamos chamar de
. Então, temos:
Para usar a regra da cadeia, precisamos derivar o seno de
em relação a
, multiplicando pela derivada de
em relação a
.
Passo 3
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
:
Como
é tratado como constante quando derivamos em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
:
Substituindo
de volta na expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra da cadeia. Temos:
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Tratando
como constante:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo
de volta na expressão:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
e