Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral definida de de 1 a 4 usando a técnica de integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa função que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Então, precisamos escolher quais serão e na nossa integral .

Passo 3

Normalmente, escolhemos para ser a parte que simplifica quando derivada, e para ser a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:

Passo 4

Agora, vamos derivar e integrar para encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:

Passo 6

Simplificando a integral restante:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
Mas como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 4, vamos calcular os valores nos limites.

Passo 8

A integral definida fica:

Passo 9

Calculando cada parte:
Para :
Para :

Passo 10

Subtraindo:

Resposta

A integral definida é igual a .

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