Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral definida de
de 1 a 4 usando a técnica de integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa função que correspondem a
e
na fórmula da integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
Então, precisamos escolher quais serão
e
na nossa integral
.
Passo 3
Normalmente, escolhemos
para ser a parte que simplifica quando derivada, e
para ser a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Passo 6
Simplificando a integral restante:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão original:
Mas como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 4, vamos calcular os valores nos limites.
Passo 8
A integral definida fica:
Passo 9
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Passo 10
Subtraindo:
Resposta
A integral definida é igual a
.