Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.
integral1^4 x ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral definida de de 1 a 4 usando a técnica de integração por partes. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente a integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa função que correspondem a e na fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher quais serão e na nossa integral .

Passo 3

Normalmente, escolhemos u = ln(x) e dv = x , dx para ser a parte que simplifica quando derivada, e para ser a parte que é fácil de integrar. Aqui, vamos escolher:

Passo 4

Agora, vamos derivar du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 e integrar para encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln(x) , dx = uv - integral v , du = ln(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 1x , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 7

Substituindo de volta na expressão original:
integral x ln(x) , dx = x^22 ln(x) - x^24 + C
Mas como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 4, vamos calcular os valores nos limites.

Passo 8

A integral definida fica:
[ x^22 ln(x) - x^24 ]1^4 = ( 4^22 ln(4) - 4^24 ) - ( 1^22 ln(1) - 1^24 )

Passo 9

Calculando cada parte:
Para 162 ln(4) - 164 = 8 ln(4) - 4 :
12 ln(1) - 14 = 0 - 14 = -14
Para :

Passo 10

Subtraindo:
(8 ln(4) - 4) - ( -14 ) = 8 ln(4) - 4 + 14 = 8 ln(4) - 154

Resposta

A integral definida é igual a .

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