Calcule as integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Estamos no campo do cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos escolher para
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função
serão
e
. Uma boa estratégia é deixar
como uma função que se simplifica quando derivada, e
como algo fácil de integrar.
Vamos escolher:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Com esses valores, podemos aplicar a fórmula da integração por partes.
Passo 4
Substituindo na fórmula:
Simplificando a integral restante:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Substituindo de volta:
Como estamos calculando uma integral definida de 1 até
, vamos aplicar os limites:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral definida
é igual a:
Exercícios relacionados
Utilize a transformação dada para calcular a integral
, onde
é a região dentro do círculo
com
.
Utilize a substituição
para mostrar que
em que
denota uma constante arbitrária.
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.