Utilize a transformação dada para calcular a integral integral duplaR (x+y) e^(x+y)^2+(x-y)^2raiz2 x^2+2 y^2 d A, onde R é a região dentro do círculo x^2+y^2=1 com x >= y ; u=x+y, v=x-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR (x+y) e^(x+y)^2+(x-y)^2raiz2 x^2+2 y^2 d A, onde a região R está dentro do círculo x^2+y^2=1 e x >= y. Para resolver isso, vamos usar uma transformação de coordenadas: u = x + y e v = x - y. Isso vai simplificar a integral. Vamos precisar entender como mudar as variáveis na integral e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar x e y em termos de u e v. Temos:
u = x + y v = x - y
Podemos resolver esse sistema para x e y:
x = u + v2 y = u - v2
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma matriz de derivadas parciais de x e y em relação a u e v:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12
O determinante do jacobiano é:
det(J) = (12)(-12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12
O valor absoluto do determinante é 12, que usaremos na mudança de variáveis.

Passo 3

Agora, vamos transformar a região de integração R. Originalmente, R é o interior do círculo x^2+y^2=1 com a condição x >= y. Em termos de u e v:
x^2 + y^2 = (u + v2)^2 + (u - v2)^2 = u^2 + 2uv + v^24 + u^2 - 2uv + v^24 = 2u^2 + 2v^24 = u^2 + v^22
Então, a condição x^2+y^2 <= 1 se torna:
u^2 + v^22 <= 1 implies u^2 + v^2 <= 2
E a condição x >= y:
u + v2 >= u - v2 implies v >= -v implies v >= 0
Então, a nova região tildeR em coordenadas u e v é o círculo u^2 + v^2 <= 2 com v >= 0.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de u e v. Substituindo x+y = u, x-y = v, e 2x^2 + 2y^2 = 2(u + v2)^2 + 2(u - v2)^2 = u^2 + v^22 + u^2 + v^22 = u^2 + v^2. A integral fica:
integral duplatildeR u e^u^2 + v^2raizu^2 + v^2 cdot |det(J)| dudv = integral duplatildeR u e^u^2 + v^2raizu^2 + v^2 cdot 12 dudv
Podemos simplificar uraizu^2 + v^2 para cos(theta) se usarmos coordenadas polares, onde u = rcos(theta) e v = rsin(theta). Mas vamos continuar em coordenadas cartesianas por enquanto.

Passo 5

Observando a simetria, vamos usar coordenadas polares para facilitar. Seja:
u = rcos(theta) v = rsin(theta)
O jacobiano em coordenadas polares é r, então a integral se torna:
integral0^raiz2 integral0^pi/2 rcos(theta) e^r^2r cdot 12 cdot r dtheta dr = 12 integral0^raiz2 integral0^pi/2 cos(theta) e^r^2 r dtheta dr
Integrando em theta primeiro:
12 integral0^raiz2 e^r^2 r [ sin(theta) ]0^pi/2 dr = 12 integral0^raiz2 e^r^2 r (1 - 0) dr = 12 integral0^raiz2 r e^r^2 dr
Agora, vamos resolver a integral em r. Fazendo a substituição s = r^2, ds = 2r dr, então r dr = 12 ds:
12 cdot 12 integral0^2 e^s ds = 14 [ e^s ]0^2 = 14 (e^2 - 1)

Resposta

O valor da integral é e^2 - 14.

Exercícios relacionados

Utilize a substituição x=t^2 para mostrar que
integral 1raizx(raizx+1)^2 d x=-2(1+raizx)+C
em que C denota uma constante arbitrária.
Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.
Calcule as integrais definidas: integral1^t x ln x d x
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: x tg(y) - y' sec(x) = 0