Utilize a transformação dada para calcular a integral
, onde
é a região dentro do círculo
com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde a região
está dentro do círculo
e
. Para resolver isso, vamos usar uma transformação de coordenadas:
e
. Isso vai simplificar a integral. Vamos precisar entender como mudar as variáveis na integral e calcular o determinante jacobiano dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
e
em termos de
e
. Temos:
Podemos resolver esse sistema para
e
:
Agora, vamos calcular o jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma matriz de derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
O determinante do jacobiano é:
O valor absoluto do determinante é
, que usaremos na mudança de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos transformar a região de integração
. Originalmente,
é o interior do círculo
com a condição
. Em termos de
e
:
Então, a condição
se torna:
E a condição
:
Então, a nova região
em coordenadas
e
é o círculo
com
.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
e
. Substituindo
,
, e
. A integral fica:
Podemos simplificar
para
se usarmos coordenadas polares, onde
e
. Mas vamos continuar em coordenadas cartesianas por enquanto.
Passo 5
Observando a simetria, vamos usar coordenadas polares para facilitar. Seja:
O jacobiano em coordenadas polares é
, então a integral se torna:
Integrando em
primeiro:
Agora, vamos resolver a integral em
. Fazendo a substituição
,
, então
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Utilize a substituição
para mostrar que
em que
denota uma constante arbitrária.
Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.
Calcule as integrais definidas:
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: