Utilize a substituição x=t^2 para mostrar que
integral 1raizx(raizx+1)^2 d x=-2(1+raizx)+C
em que C denota uma constante arbitrária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integral usando substituição! A gente tem que integrar a função em relação a , e para isso vamos usar a substituição . Vamos precisar conhecer um pouquinho de cálculo, especialmente sobre substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Com isso, precisamos expressar tudo em termos de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de dx = ddt(t^2) , dt = 2t , dt em relação a para achar :

Passo 4

Agora, vamos substituir por , já que , então .

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral 1raizx(raizx+1)^2 , dx = integral 1t(t + 1)^2 cdot 2t , dt

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
1t(t + 1)^2 cdot 2t = 2(t + 1)^2
Então, a integral fica:
integral 2(t + 1)^2 , dt

Passo 7

Agora, vamos integrar integral 1(t + 1)^2 , dt = -1t + 1 + C em relação a integral 2(t + 1)^2 , dt = -2t + 1 + C . Lembrando que:
Então,

Passo 8

Finalmente, vamos voltar para a variável original -2t + 1 + C = -2raizx + 1 + C . Como fizemos , então . Substituindo:

Resposta

integral 1raizx(raizx+1)^2 , dx = -21 + raizx + C

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