Utilize a substituição
para mostrar que
em que
denota uma constante arbitrária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de integral usando substituição! A gente tem que integrar a função
em relação a
, e para isso vamos usar a substituição
. Vamos precisar conhecer um pouquinho de cálculo, especialmente sobre substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Com isso, precisamos expressar tudo em termos de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
para achar
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
por
, já que
, então
.
Passo 5
Substituindo na integral original, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
. Lembrando que:
Então,
Passo 8
Finalmente, vamos voltar para a variável original
. Como fizemos
, então
. Substituindo:
Resposta
Exercícios relacionados
Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.
Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido Acima do cone
e abaixo da esfera
.
Utilize a transformação dada para calcular a integral
, onde
é a região dentro do círculo
com
.
Calcule as integrais definidas: