Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que desenvolver a série de Fourier dessa função
definida no intervalo
e depois estender isso de forma periódica. Vamos usar conceitos de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
, que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que estão relacionados com os termos de cosseno na série. A fórmula é:
Substituindo
:
Essa função é ímpar se considerarmos apenas
, mas
é par. Como a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, ficamos só com:
Então, todos os
são zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que estão relacionados com os termos de seno na série. A fórmula é:
Substituindo
:
A função
é ímpar, então a integral dela de
a
é zero. Portanto, ficamos com:
Integrando por partes, onde
e
, obtemos:
Resposta
A série de Fourier da função
para
e sua extensão periódica são dadas por:
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
Calcule as integrais definidas:
Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: