Desenvolva em série de Fourier cada uma das funções dada a seguir e faça o prolongamento periódico de cada uma delas.
f(x) = x + pi, se -pi < x < pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que desenvolver a série de Fourier dessa função definida no intervalo e depois estender isso de forma periódica. Vamos usar conceitos de séries de Fourier, que ajudam a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, vamos precisar calcular os coeficientes da série de Fourier: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente , que representa a média da função no intervalo. A fórmula é:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes , que estão relacionados com os termos de cosseno na série. A fórmula é:
Substituindo :
Essa função é ímpar se considerarmos apenas , mas é par. Como a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero, ficamos só com:
Então, todos os são zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que estão relacionados com os termos de seno na série. A fórmula é:
Substituindo :
A função é ímpar, então a integral dela de a é zero. Portanto, ficamos com:
Integrando por partes, onde e , obtemos:

Resposta

A série de Fourier da função para e sua extensão periódica são dadas por:

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Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: x tg(y) - y' sec(x) = 0
Calcule as integrais definidas: integral1^t x ln x d x
integral-raiz2^raiz2 12-x^2 d x
Calcule as integrais impróprias, se possível, ou demonstre que a função não é integrável no intervalo: integral-2^5 d xraiz|x|