Calcule as integrais definidas:
(o) integral3^2 x^2-1x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral3^2 x^2-1x-1 , dx.
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais definidas. Para resolver, vamos precisar simplificar a função que está sendo integrada e depois aplicar as regras básicas da integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: x^2-1x-1.
Perceba que o numerador x^2 - 1 pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Passo 3

Então, substituímos na fração:
x^2-1x-1 = (x - 1)(x + 1)x - 1
Aqui, conseguimos cancelar o (x - 1) que está no numerador e no denominador, desde que x neq 1. Assim, a expressão simplifica para:
x + 1

Passo 4

Agora, nossa integral fica muito mais simples:
integral3^2 (x + 1) , dx

Passo 5

Vamos lembrar que a integral definida integrala^b f(x) , dx calcula a área sob a curva de f(x) entre os pontos a e b. Se o limite inferior for maior que o superior, o resultado será o negativo da integral de b a a:
integral3^2 (x + 1) , dx = -integral2^3 (x + 1) , dx

Passo 6

Agora, vamos integrar x + 1. A primitiva de x é 12x^2 e a primitiva de 1 é x. Então:
integral (x + 1) , dx = 12x^2 + x + C
Como estamos fazendo uma integral definida, não precisamos da constante C.

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 2 a 3:
[ 12x^2 + x ]2^3 = ( 12(3)^2 + 3 ) - ( 12(2)^2 + 2 )
Calculando cada parte:
( 12 times 9 + 3 ) - ( 12 times 4 + 2 ) = ( 4.5 + 3 ) - ( 2 + 2 ) = 7.5 - 4 = 3.5

Passo 8

Lembrando que tínhamos invertido os limites de 3 para 2, o resultado final será negativo:
-3.5 = -72

Resposta

O valor da integral definida é -72.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
(i) integral2^2 100 x d x
Derive. f(x) = x / (x + c / x)
Calcule as integrais definidas:
® integral-3^6|x-4| d x
Calcule as integrais definidas:
(u) integral0^1 1(3-2 x)^2 d x