Calcule as integrais definidas:
(u) integral0^1 1(3-2 x)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar a integral. Vamos definir . Essa escolha ajuda a simplificar o denominador da fração.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = -2 Rightarrow du = -2,dx Rightarrow dx = -12,du em relação a para encontrar . Temos:

Passo 4

Substituindo integral0^1 1u^2 times ( -12,du ) = -12 integral0^1 1u^2,du e na integral original, ficamos com:

Passo 5

Precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição u = 3 - 2(0) = 3 . Quando u = 3 - 2(1) = 1 :
E quando :

Passo 6

Agora, a integral fica:
-12 integral3^1 1u^2,du
Podemos trocar os limites de integração e mudar o sinal:
12 integral1^3 1u^2,du

Passo 7

Vamos integrar integral u^-2,du = -u^-1 + C = -1u + C . A antiderivada de é:

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
12 [ -1u ]1^3 = 12 ( -13 + 11 ) = 12 ( -13 + 1 ) = 12 times 23 = 13

Resposta

O valor da integral é .

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